Исчисление дисперсии

В приведенной выше формуле по определению ошиб­ки случайной выборки предполагается, что а является характеристикой колеблемости изучаемого признака в ге­неральной совокупности. Однако очевидно, что это теоре­тическое требование в абсолютном большинстве случаев невыполнимо. Социолог не имеет информации на этот счет, как, впрочем, и о величине средней. Ведь именно для получения этих показателей он и намерен проводить выборочное обследование.

Как правило, в учебных пособиях по статистике вы­ход из этого положения предлагают искать в использо­вании выборочных характеристик колеблемости. Такая замена корректна, если существует уверенность в стро­гом соблюдении требований случайного отбора при полу­чении информации о данном показателе. Однако следует отметить, что и при соблюдении этих условий замена ха­рактеристик генеральной совокупности соответствующи­ми показателями выборочной совокупности не является тривиальной задачей.

Строго говоря, выборочные показатели могут высту­пать в качестве более или менее хороших оценок харак­теристик генеральной совокупности. Качество этих оце­нок зависит от того, насколько они являются состоятель­ными, несмещенными и эффективными.

Выше уже отмечалось, что состоятельность оценки предполагает ее приближение с увеличением объема вы­борки к истинному значению характеристики генеральной совокупности. Оценка считается эффективной тогда, ког­да она обладает необходимой для исследователя точ­ностью, т. е. содержит ошибку, не превышающую задан­ную величину. Очевидно, что состоятельные оценки, как правило, могут быть и эффективными, если исследова­тель в состоянии увеличить объем выборки до нужного уровня.

Особое значение имеет такое математическое свой­ство оценок, как несмещенность¹. Наличие этого свой­ства предполагает, что выборочные оценки определенной характеристики отклоняются от ее истинного значения одинаково «в разные стороны» и не дают смещения, т. е. не носят систематического характера.

Выборочные оценки ряда характеристик действитель­но носят; без использования корректировки несмещенный характер. Так дело обстоит с оценками средней, которые получают при простом случайном отборе². Математиче­ское ожидание выборочной средней (т. е. средняя из вы­борочных средних, взвешенных по вероятности их появ­ления) в точности совпадает при соблюдении правил случайного отбора с истинной средней, т. е.

картинка

стик генеральной совокупности получают с помощью бо­лее сложных коррективов¹.

Признавая, что несмещенные оценки, как правило, явно предпочтительнее смещенных, следует, 'однако, иметь в виду, что неточность исходной информации, на­личие систематических ошибок выборки и регистрации обычно намного превосходят ошибки, возникающие из-за использования несмещенных в математическом смысле оценок.

К тому же в некоторых ситуациях можно предпочесть смещенную, но более эффективную (т. е. обладающую меньшим отклонением от истинной величины перемен­ной) ошибку несмещенной, но менее эффективной [306;

165—170], [324; 28—30].

Использование выборочной дисперсии с соответствую­щими коррективами в качестве оценки дисперсии гене­ральной совокупности возможно только в том случае, если при отборе не происходило своих систематических ошибок. Перед ошибками в отборе бессильны любые ма­тематические ухищрения.

Приведем такой условный пример. Из генеральной совокупности семей, характеризуемых числом выписы­ваемых газет, произведена выборка (отобранные вариан­ты подчеркнуты): (пропущена таблица чисел)

Генеральная средняя, которая исследователю не из­вестна, составляет примерно 3 газеты. Выборочная сред­няя, оказавшаяся 'в распоряжении социолога, составила 6 газет. Фактическая ошибка равна 3. Возникает воп­

рос: может ли исследователь, не имеющий сведений о ге­неральной совокупности, получить представление о дис­персии генеральной совокупности и, следовательно, об ошибке средней?

Произведем необходимые вычисления и получим G²==2, 5. Средняя ошибка выборки |л=±0, 4. Генеральная средняя должна находиться в этом случае в интервале между 5, 6 и 6, 4. Фактически генеральная средняя нахо­дится далеко внепределов данного интервала. Между тем социолог, доверившись полученным оценкам, мог ут­верждать, что он получил неплохие с точки зрения репре­зентативности результаты. Почему же его «подвел» тра­диционный аппарат? Дело объясняется просто.

В нашем примере отбор имел явно смещенный харак­тер. В выборку попали в основном семьи, выписывающие много газет (предположим, что мы проводили почтовое обследование, а анкеты вернули нам как раз особенно активные читатели газет). В рамках отобранного массива разброс оказался небольшим, а это произошло не пото­му, что исходная совокупность отличалась однород­ностью. Небольшие величины дисперсии и соответственно средней ошибки выборки оказались порождением непра­вильного отбора единиц совокупности для исследования. Фактически дисперсия в генеральной совокупности была равна 3, 3, что значительно больше выборочной диспер­сии. Именно поэтому подчас и возникает парадоксаль­ная ситуация: небольшие ошибки могут свидетельство­вать не о хорошем качестве проведенного обследования, а скорее о плохом¹.

Мы до сих пор рассуждали о том, насколько право­мерно использовать выборочную дисперсию при опреде­лении ошибки средней. Следует, однако, заметить, что при проектировании выборочного обследования социолог Не обладает информацией об этой дисперсии. В такой ситуации обычно поступают следующим образом.

Если идет речь о качественных признаках, то имеется возможность ориентироваться на максимальную величи­ну дисперсии, равную 0, 25, если о количественных, то в

¹ Иногда может возникнуть другая ситуация, при которой сме­щенная, например, из-за нарушений правил отбора выборка может дать Лучшую, более эффективную оценку средней, чем выборка не­смещенная, однако имеющая очень большую дисперсию.

этом случае исследователь должен опираться на мате­риалы прошлых исследований, пробного обследования, экспертные оценки.