![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Лекция 12
Тема: Приведённые силы и моменты. Теорема Жуковского. Кинетическая энергия механизма. Приведённая масса и приведённый момент инерции механизма Приведённые силы и моменты При исследовании движения механизма, находящегося под действием заданных сил, удобно все силы, действующие на звенья, заменять силами, приложенными к одному из звеньев механизма. Приведённой называют силу, условно приложенную к одной из точек механизма, элементарная работа которой на виртуальном (возможном) перемещении точки приведения равна сумме элементарных работ приводимых сил на перемещениях точек приложения этих сил.
где d s – элементарное перемещение точки приложения силы; a – угол между вектором силы и направлением перемещения точки её приложения. Разделим равенство (1) на d t:
Следовательно,
Мощность приведённой силы равна сумме мощностей приводимых сил. Мощность может быть представлена
где МП – приведённый момент пары сил. Схема звена приведения с приведённой силой и приведённым моментом
Рисунок 1 Теорема Н.Е.Жуковского Уравновешивающей является сила, равная и направленная противоположно приведённой силе
Из уравнения следует, что сумма мощностей на виртуальных перемещениях механизма равно нулю, т.е. получаем аналитическое выражение принципа виртуальных перемещений для данного механизма. Предположим, что в точке D звена BC приложена сила Определение уравновешивающей силы с помощью повёрнутого плана скоростей
Рисунок 2 Из рисунка 2, c следует, что Fi × u i × cosa I = Fi × (pd)× mu× cosa I = Fi × mu× hi = mu× M П(Fi), (6) где mu – масштаб плана скоростей; Fi × hi – момент силы Fi относительно полюса плана скоростей. Следовательно, мощность силы можно представить как момент этой силы относительно начала повёрнутого плана скоростей, умноженный на масштаб плана mu. Выполнив такую замену в уравнении (5), получим
Уравнение (7) выражает теорему Н.Е.Жуковского, являющуюся геометрической интерпретацией принципа виртуальных перемещений: если в соответствующие точки повёрнутого плана скоростей перенести все силы, под действием которых механизм находится в равновесии, то сумма моментов всех этих сил относительно начала плана равна нулю. Если повёрнутый план рассматривать как жёсткий рычаг с осью вращения в начале плана (рис. 2, c), то уравнение (7) является уравнением равновесия такого рычага. Согласно принципу Даламбера (Jean d’Alembert), если к механизму, нагруженному внешними силами (движущими или сопротивления), приложены и силы инерции звеньев, то механизм находится в равновесии. Следовательно, если в число сил Fi входят силы сопротивления и силы инерции, то определённая по уравнению (7) уравновешивающая сила Fy будет силой движущей (Fy = FD). Если эту силу приложить к ведущему звену механизма, то будут преодолены приложенные к нему сопротивления и звенья механизма будут двигаться по заданным законам. Если заданы силы движущие и силы инерции звеньев, то уравновешивающая сила будет силой сопротивления (Fy = R). На основе принципа независимости действия сил можно, используя теорему Жуковского, определить уравновешивающую для каждой из сил, приложенных к механизму раздельно. Кинетическая энергия механизма Уравнение кинетической энергии применительно к механизму имеет вид
где AD есть работа всех движущих сил, AC – работа всех сил сопротивления, Схема звена приведения с приведённой массой
Рисунок 3 силой Рассмотрим вопрос о том, как может быть определена кинетическая энергия механизма. В общем случае плоскопараллельного движения звена его кинетическую энергию можно представить в виде суммы энергий в поступательном вместе с центром масс звена и вращательном вокруг его центра масс движениях. Поэтому для механизма можно написать
Здесь mi – масса звена i, u i – скорость центра масс, Ii – его момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс, w i – его угловая скорость. Рассмотрим, как подсчитывается кинетическая энергия отдельных звеньев в зависимости от вида их движения. Кинетическая энергия звена, движущегося поступательно, равна
В этой формуле u S – скорость центра масс звена. Для звена, совершающего вращательное движение, кинетическая энергия равна
здесь I есть момент инерции звена относительно оси вращения и w – угловая скорость звена.
Для звена, совершающего плоскопараллельное движение, кинетическую энергию можно представить так:
где IP есть момент инерции звена относительно оси, проходящей через мгновенный центр вращения P, и w – мгновенная угловая скорость звена. Момент инерции IP относительно оси, проходящей через мгновенный центр вращения, может быть выражен через момент инерции IS относительно оси, проходящей через центр масс S звена:
IP = IS + m× lPS 2. (13) В этом равенстве lPS есть расстояние от центра масс S звена до мгновенного центра вращения P. Подставляя выражение для IP из равенства (13) в уравнение (12) и принимая во внимание, что w× lPS = u S есть скорость центра масс звена, получаем известную формулу для кинетической энергии звена, имеющего сложное вращательно-поступательное движение:
Складывая алгебраически кинетические энергии отдельных звеньев, по формуле (9) получаем значение кинетической энергии всего механизма. Приведённая масса и приведённый момент инерции механизма Механизм с одной степенью свободы имеет одно начальное звено, которое может быть выбрано за звено приведения. Пусть механизм состоит из n звеньев, имеет одну степень свободы. В этом механизме выбираем одно звено, например звено AB, в качестве звена приведения, а одну из точек этого звена, например точку B, примем за точку приведения. Звено AB обозначим под номером 1. Приведённой массой называется такая условная масса, сосредоточенная в точке приведения, кинетическая энергия Tn которой равняется сумме
где u B – скорость точки приведения. В случае, когда массы звеньев приводятся к звену, совершающему вращательное движение относительно стойки, удобно пользоваться понятием приведённого момента инерции In этих масс относительно оси вращения звена приведения. Приведённый момент инерции равен
где w1 – угловая скорость звена приведения. Из равенств (15) и (16) видно, что величина mn имеет размерность массы [кг], а величина In имеет размерность момента инерции [кг× м2]. Из равенства (15) следует, что в общем случае приведённая масса переменна и зависит от квадратов отношений линейных и угловых скоростей, и поэтому она всегда положительна. Аналогично величина In в равенстве (16) представляет собой приведённый к звену AB момент инерции звеньев механизма. Это есть момент инерции вращающегося вместе со звеном AB тела, кинетическая энергия которого в каждом рассматриваемом положении механизма равна сумме кинетических энергий всех его звеньев.
|