Жартылай бөлу әдісі.

Есептің қ ойылыуы. Тең деудің тү бірін табу математикалық мә селесі ғ ылым мен техниканың ә ртү рлі салаларында жиі кездеседі. Бізге келесі тең деулердің тү бірлерін табу керек болсын:

(3.1)

немесе (3.2)

мұ ндағ ы жә не - кейбір аралығ ында анық талғ ан, ү зіліссіз жә не дифференциялданатын функциялар.

Бұ л тең деулерді

(3.1а)

(3.2а)

тү ріндегі тепе-тең дікке айналдыратын саны тең деудің тү бірі немесе тең деудің шешімі деп аталады. Егер кезінде функциясымен бірге оның -ші ретке дейінгі туындыларының барлығ ы нольге тең болса, онда мұ ндай саны k еселі тү бір деп аталады:

Бір еселі тү бір жай деп аталады. Егер (3.1) тең деудің сол жағ ы тек ғ ана алгебралық функциялар (бү тін, рационал, ироционал) болса, онда (3.1) тең деу алгебралық деп аталады.

Мысалы: - бү тін алгебралық функция.

Ал егер (3.1) тең деудің сол жағ ы алгебралық функция болмаса (логорифмдік, кө рсеткіштік, тригонометриялық жә не т.б), онда ол трансценденттік деп аталады.

Мысалы: т.б.

Сызық ты емес тең деулерді шешудің тура жә не итерациялық ә дістері бар. Тең деуді шешудің тура ә дістері оның шешімін белгілі бір текті қ атынастар (формулалар) арқ ылы ө рнектейді. Мысалы, алгебра курсынан тригонометриялық, кө рсеткіштік, логарифмдік, алгебралық екінші дә режелі толымсыз ү шінші дә режелі биквадрат тең деулерінің тү бірлерінің формулалары белгілі. Ә рине, практикада кездесетін тең деулерді мұ ндай қ арапайым ә дістермен шеше беруге мү мкін бола бермейді. Сондық тан қ андай да бір сандық ә дісті пайдалану қ ажеттілігі туады: (3.1) немесе (3.2) тең деуінің [а; b] аралығ ында берілген e дә лдікпен барлық нақ ты тү бірлерін табу керек. Мұ ндай кезде тең деудің тү бірлерін табу ү шін негізінен екі: бө ліктеу (айыру) жә не дә лелдеу кезең інен тұ ратын итерациялық немесе біртіндеп жуық тау ә дістерін қ олданамыз.

1) Тү бірлерді бө ліктеу.

def 3.1. функциясының [a; b] анық талу облысына тиісті ә рқ айсысында (3.1) немесе (3.2) тең деуінің тек бір ғ ана тү бірі болатын аралық тарына жекелеу тең деудің тү бірлерін бө ліктеу деп аталады.

Егер тең деудің тү бірі жә не болса, онда

болғ андық тан бұ л аралық тың шекараларын тү бірдің ізделінетін мә нінің e-ге дейінгі дә лдікпен алынғ ан бастапқ ы жуық тауы ретінде алуғ а болады (сол жақ шекарасы кемімен, оң жақ шекарасы артығ ымен). Ә детте тү бірлерді бө ліктеу ү шін функцияның графигін пайдаланады. Ол ү шін, (3.1) тең деудің сол жағ ындағ ы функцияның немесе (3.2) тең деу ү шін жә не функцияларының [a; b] аралығ ында графиктерін тұ рғ ызамыз. Бірінші жағ дайда функциясының графигінің абсцисса осімен қ иылысу нү ктесі, екінші жағ дайда жә не функцияларының графиктерінің қ иылысу нү ктелерінің абсциссалары сә йкес (3.1) жә не (3.2) тең деулерінің жуық мә ндерін береді.

Тү бірлерді айырғ анда кө біне ү зіліссіз жә не диференциялданатын функциялардың қ асиеттерін пайдаланады:

1) Егер [a; b] кесіндінің ұ штарында функциясыны таң балары қ арама-қ арсы болсын:

,

онда бұ л аралық та тең деудің тү бірлерінің саны тақ болады, ал егер бірдей таң ба қ абылдаса:

,

онда тү бірлерінің саны жұ п немесе мү лде тү бірі болмайды.

2) Егер жә не немесе туындылары осы [a; b] аралығ ында таң басын ө згертпесе, онда бұ л аралық та тең деудің бір ғ ана тү бірі болады.

Мысал: тең деуінің тү бірлерін бө ліктең із.

1)

Х
3	-2
2	-3
1	-2
1 2 3 4 0
-1
...	...

[0; 1], [3; 4]

2)

X
		-1
-1		-5
-2		-9
-3		-13

2) Тү бірлерді дә лдеу.

Def 3.2. Бірінші кезең де жекеленген аралық тағ ы тең деудің тү бірі ү шін қ абылданғ ан бастапқ ы жуық тауда берілген e дә лдіктің дә режесіне дейін жеткізуді тү бірді дә лдеу деп атайды, ал пайдаланылатын сандық ә діс итерциялық немесе біртіндеп жуық тау ә дісі деп аталады.

Def 3.3. Егер біртіндеп жуық тауда табылғ ан мә ндері бірте-бірте тү бірдің дә л мә ніне жуық тай тү ссе, онда итерациялық процесс жинақ ты деп, ал кері жағ дайда жинақ сыз деп аталады.

Итерациялық ә діспен тү бірдің берілген дә лдіктегі жуық мә нін табу ү шін бастапқ ы жуық тау мә ні жә не қ ажетті дә лдік e берілуі керек. Итерациялық процестің аяқ талу шарты:

,