Потоки платежей. Финансовая рента

Контракты, сделки, коммерческие и производственно-хозяйственные операции часто предусматривают не отдельные разовые платежи, а множество распределенных во времени выплат и поступлений. Отдельные элементы такого ряда, а иногда и сам ряд платежей в целом, называется потоком платежей. Члены потока платежей могут быть как положительными (поступления), так и отрицательными (выплаты) величинами. Поток платежей, все члены которого положительные величины, а временные интервалымежду двумя последовательными платежами постоянны, называют финансовой рентой. Ренты делятся на годовые и р -срочные, где р характеризует число выплат на протяжении года. Это дискретные ренты. В финансово-экономической практике встречаются и с последовательностями платежей, которые производятся так часто, что практически их можно рассматривать как непрерывные. Такие платежи описываются непрерывными рентами.

Пример 3.13. Пусть в конце каждого года в течение четырех лет в банк вносится по 1 млн. рублей, проценты начисляются в конце года, ставка - 5% годовых. В этом случае первый взнос обратится к концу срока ренты в величину 10 ⁶  1, 05³ так как соответствующая сумма была на счете в течение 3 лет, второй взнос увеличится до 10 ⁶  1, 05², так как был на счете 2 года. Последний взнос процентов не приносит. Таким образом, в конце срока ренты взносы с начисленными на них процентами представляют ряд чисел: 10 ⁶  1, 05³; 10 ⁶  1, 05²; 10 ⁶  1, 05; 10 ^6. Наращенная к концу срока ренты величина будет равна сумме членов этого ряда. Обобщим сказанное, выведем соответствующую формулу для наращенной суммы годовой ренты. Обозначим: S - наращенная сумма ренты, R - размер члена ренты,
i - ставка процентов (десятичная дробь), n - срок ренты (число лет). Члены ренты будут приносить проценты в течение n - 1, n - 2,..., 2, 1 и 0 лет, а наращенная величина членов ренты составит

R (1 + i)^{n - 1}, R (1 + i)^{n - 2},..., R (1 + i), R.

Перепишем этот ряд в обратном порядке. Он представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем (1+i) и первым членом R. Найдем сумму членов прогрессии. Получим: S = R ((1 + i)ⁿ - 1)/((1 + i) - 1) = R ((1 + i)ⁿ - 1)/ i. Обозначим S _{n; i} = ((1 + i)ⁿ- 1)/ i и будем называть его коэффициентом наращения ренты. Если же проценты начисляются m раз в году, то S = R ((1 + i/m)^mn- 1)/((1 + i/m) ^m - 1), где i - номинальная ставка процентов.

Величина a _{n; i} = (1 - (1 + i) ^{- n})/ i называется коэффициентом приведения ренты. Коэффициент приведения ренты при n → ∞ показывает, во сколько раз современная величина ренты больше ее члена:

a _{n; i} = (1 - (1 + i) ^{- n})/ i =1/i.

Пример 3.14. Под вечной рентой понимается последовательность платежей, число членов которой не ограничено - она выплачивается в течение бесконечного числа лет. Вечная рента не является чистой абстракцией - на практике это некоторые виды облигационных займов, оценка способности пенсионных фондов отвечать по своим обязательствам. Исходя из сущности вечной ренты можно полагать, что ее наращенная сумма равна бесконечно большой величине, что легко доказать по формуле:
R×  ((1 + i)ⁿ - 1)/ i → ∞ при n → ∞.

Коэффициент приведения для вечной ренты a _{n; i} → 1/i, откуда A = R/i, т. е. современная величина зависит только от величины члена ренты и принятой ставки процентов.