Произвольной плоской называется такая система сил, линии действия сил которой расположены в одной плоскости произвольно.

3.5.1. Условия равновесия произвольной плоской системы сил

Векторная форма условия равновесия: для равновесия произвольной плоской системы сил, приложенной к свободному абсолютно твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы её главный вектор был равен нулю и главный момент системы сил относительно произвольной точки был равен нулю:

Аналитическая форма условия равновесия:

- для равновесия произвольной плоской системы сил, приложенной к свободному абсолютно твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на координатные оси OX и OY были равны нулю, и сумма скалярных моментов сил системы относительно произвольной точки была равна нулю:

- для равновесия произвольной плоской системы сил, приложенной к свободному абсолютно твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы суммы скалярных моментов сил системы относительно трёх точек, не лежащих на одной прямой, были равны нулю:

- для равновесия произвольной плоской системы сил, приложенной к свободному абсолютно твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы суммы скалярных моментов сил системы относительно двух произвольно выбранных точек были равны нулю и сумма проекций всех сил системы на ось, не перпендикулярную отрезку, соединяющему эти две точки, была равна нулю:

3.5.2. Дано: жесткая рама, расположенная в вертикальной плоскости (рис. С.1.0 - С.1.9, табл. С -1), закреплена в точке А шарнирно, а в точке В прикреплена или к невесомому стержню, или к шарнирной опоре на катках.

В точке С к раме привязан трос, перекинутый через блок, и несущий на конце груз весом Р =30 кН. На раму действуют пара сил с моментом М =50 кНм и две силы, значения, направления и точки приложения которых указаны в таблице С -1. В расчетах принять: а = 1 м.

Определить: реакции связей в точках А, В, вызванные заданными нагрузками.

Указания. При решении задачи следует учесть, что натяжения обеих ветвей троса, перекинутого через блок, будут одинаковыми. При вычислении момента силы удобнее разложить её на две составляющие и , для которых проще определить значения плеч, а затем воспользоваться теоремой Вариньона: .

3.5.3. Пример С-1

Жесткая рама, расположенная в вертикальной плоскости (рис. С-1), закреплена в точке А шарнирно, а в точке В прикреплена к невесомому стержню.

Таблица С-1

Силы
F1=10 кН	F2=20 кН	F3=30 кН	F4=40 кН
Номер условия	Точка приложения силы	α 1, град.	Точка приложения силы	α 2, град.	Точка приложения силы	α 3, град.	Точка приложения силы	α 4, град.
	Н		-	-	-	-	К
	-	-	D		E		-	-
	K		-	-	-	-	E
	-	-	K		H		-	-
	D		-	-	-	-	E
	-	-	H		-	-	D
	E		-	-	K		-	-
	-	-	D		-	-	H
	H		-	-	D		-	-
	-	-	E		K		-	-

Таблица С-2

Силы
F1=6 кН	F2=8 кН	F3=10 кН	F4=12 кН
Номер условия	Точка приложения силы	α 1, град.	Точка приложения силы	α 2, град.	Точка приложения силы	α 3, град.	Точка приложения силы	α 4, град.
	E		H		-	-	-	-
	-	-	D		E		-	-
	-	-	-	-	K		E
	K		-	-	D		-	-
	-	-	E		-	-	D
	H		K		-	-	-	-
	-	-	H		D		-	-
	-	-	-	-	H		K
	D		-	-	K		-	-
	-	-	D		-	-	H

В точке С к раме привязан трос, перекинутый через блок и несущий на конце груз весом . На раму действуют: пара сил с моментом М и две сосредоточенные в точках К и Е силы . В расчетах принять: а = 1м.

Дано: F₁ = 10 кН; F₂ = 20 кН; Р=30 кН; М=40 кНм; а=1 м.

Определить: реакции в точках А, В, вызванные заданными нагрузками.

Решение

1. Рассмотрим равновесие рамы (рис. С -1).

2. Изобразим и обозначим все силы, действующие на раму, включая реакции связей: . Реакцию неподвижной шарнирной опоры в точке А заменим двумя её составляющими, а реакцию в стержне направим по стержню. Следует отметить, что натяжение в тросе по модулю равно силе тяжести груза, закрепленного на его конце: Т=Р.

3. Для полученной плоской произвольной системы сил воспользуемся известным условием равновесия и составим уравнения равновесия:

4. Подставим в составленные уравнения значения заданных величин и определим искомые реакции.

Ответ: X_A=30, 8 кН; Y_А= 52, 3 кН; R_B =29, 5 кН.

Модуль реакции в шарнире А равен: .

Проверка: для проверки правильности решения необходимо составить условие равновесия для данной системы сил в новой системе координат.

3.6. С-2. Произвольная пространственная система сил. Определение реакций связей