Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки, находящейся под действием постоянных сил

Дано: груз D массой m, получив в точке А начальную скорость v₀, движется в изогнутой трубе АВС, расположенной в вертикальной плоскости; участки трубы или оба наклонные, или один горизонтальный, а другой наклонный (рис. Д 1.0-Д1.9, табл. Д -1).

На участке АВ на груз кроме силы тяжести действуют постоянная сила (ее направление показано на рисунках) и сила сопротивления среды , зависящая от скорости груза (направлена против движения); трением груза о трубу на участке АВ пренебречь.

В точке В груз, не изменяя своей скорости, переходит на участок ВС трубы, где на него кроме силы тяжести действуют сила трения (коэффициент трения о трубу f=0, 2) и переменная сила , проекция которой на ось x задана в таблице.

Определить. Считая груз материальной точкой и зная расстояние АВ=l или время t₁ движения груза от точки А до точки В, найти закон движения груза на участке ВС, т.е. x=f(t), где x=BD.

Указания. Задача решается в два этапа:

- сначала следует составить уравнение движения точки (груза) на участке АВ, с учетом начальных условий проинтегрировать уравнение методом разделения переменных; затем, зная время движения груза на участке АВ или длину этого участка, определить скорость груза в точке В. Эта скорость будет начальной для движения груза на участке ВС;

- составить и проинтегрировать дифференциальное уравнение движения груза на участке ВС с учетом начальных условий, ведя отсчет времени от момента, когда груз находится в точке В, и принимая в этот момент t=0; при интегрировании уравнения движения на участке АВ в случае, когда задана длина l участка, целесообразно перейти к переменному x, учитывая, что .

Таблица Д-1

5.2.1. Пример Д -1

На наклонном участке АВ трубы на груз D массой m действует сила тяжести, постоянная сила и сила сопротивления (рис. Д -1). Движение точки от точки А при v₀ = 22 м/с до точки В происходит в течение t с.

На горизонтальном участке ВС на груз кроме силы тяжести действует сила трения и переменная сила .

Дано: m =3 кг; v₀= 22 м/c; Q = 9 H; R =μ v(H); μ =0, 5 кг/c; t= 3c; F=4sin(2t); α =30⁰.

Определить: закон движения груза на участке ВС.

Рис. Д-1

Решение

1. Рассмотрим движение груза на участке АВ, считая груз материальной точкой. Изобразим в произвольном положении груз и действующие на него силы: , , , . Проведем ось AZ и составим дифференциальное уравнение движения груза в проекциях на эту ось:

или

или .

2. Введем обозначение:

, откуда при заданных известных значениях получим а=12 м/с при g=10 м/с².

3. Разделив в уравнении переменные и взяв интегралы от обеих частей равенства, получим:

.

4. При известных начальных условиях: t=0, v₀= 22 м/c получаем С₁= -ln(a-22). Тогда уравнение примет вид:

5. После преобразования получим:

или .

6. Из п. 5 находим:

Полагая, что t=3 c, и заменив а, μ, m известными численными значениями, определяем скорость груза в точке В: v_B= 18, 1 м/c.

7. Рассмотрим движение груза на участке ВС. Найденная скорость v_B будет для движения груза на этом участке являться начальной скоростью (v₀ = v_B). Изобразим в произвольном положении груз и действующие на него силы: , , , .

8. Проведем из точки В оси BX и BY и составим дифференциальное уравнение движения груза в проекции на ось BX:

,

где F_тр=fN.

9. Для определения N составим уравнение в проекции на ось BY. Так как в направлении BY нет движения, то , поэтому 0=N-mg, откуда N=mg. Следовательно, F_тр=fmg. Учитывая, что F=4sin(2t), уравнение примет вид:

Разделив обе части равенства на m, получим:

или

где 4/m=1, 33; fg =2 м/c² при f=0, 2.

10. Умножив обе части уравнения на dt и проинтегрировав его, найдем

.

11. При известных начальных условиях: t=0, v₀ = v_B = 18, 1 м/c - получим С₂=18, 1 + 1, 33/2=18, 8.

12. Уравнение при найденной С₂ примет вид:

.

13. Умножая обе части на dt и снова интегрируя, получим:

.

14. При t=0, x=0 С₃=0, тогда закон движения груза окончательно будет представлен выражением:

.

Ответ:

5.3. Теорема об изменении кинетической энергии материальной системы

Изменение кинетической энергии материальной системы на ее конечном перемещении равно сумме работ всех внешних и внутренних сил на этом перемещении:

,

где Т₀ – начальное значение кинетической энергии системы.

5.3.1. Формулы для подсчёта кинетической энергии твердого тела в различных видах его движения

5.3.1.1. Тело движется поступательно

Скорости всех точек твердого тела одинаковы и равны скорости центра масс тела, поэтому:

,

где М – масса твердого тела, кг; V_c – скорость центра масс тела, м/с.

5.3.1.2. Тело вращается вокруг неподвижной оси

,

где J_z – момент инерции тела относительно оси вращения тела, кг·м²; – угловая скорость вращения тела, 1/c.

5.3.1.3. Тело совершает плоское движение

Плоское движение может быть рассмотрено как сумма поступательного движения тела со скоростью центра масс и вращательного движения тела вокруг оси Сz^', перпендикулярной присоединенной плоскости и проходящей через центр масс тела, поэтому:

,

где J_Сz^' – момент инерции тела относительно оси вращения Сz^', кг·м²; - угловая скорость вращения тела, 1/c; М – масса твердого тела, кг; V_c – скорость центра масс тела, м/с.

5.3.1.4. Тело вращается вокруг неподвижной точки

,

где J_ω – момент инерции тела относительно мгновенной оси скоростей, кг·м².

Примечание: 1. Момент инерции цилиндра: 2. Момент инерции ступенчатого шкива: 3. Момент инерции блока, масса которого равномерно распределена по ободу:

5.3.2. Примеры вычисления работы сил

1. Сумма работ внутренних сил системы в общем случае отлична от нуля.

2. Если материальная система представляет собой абсолютно твердое тело, то сумма работ внутренних сил равна нулю.

3. Работа любой силы равна нулю, если сила приложена в неподвижной точке, скорость которой равна нулю в данный момент времени.

4. Работа внутренних сил натяжений гибких нерастяжимых тросов, канатов и т.п. равна нулю.

5. Работа силы тяжести равна произведению веса материальной системы на вертикальное перемещение центра масс, взятому со знаком «плюс», если центр масс опускается, и со знаком «минус», если центр масс поднимается: А=± Mgh_c, где М – масса материальной системы, кг; h_c – вертикальное перемещение центра масс, м; g – ускорение свободного падения, м/с².

6. Работа силы, приложенной к вращающемуся вокруг оси абсолютно твердому телу, равна: А=± M^П(φ -φ ₀), где M^П - момент пары сил, приложенной к телу, Нм; φ -φ ₀ – значение конечного угла поворота тела.

7. Работа силы трения: А= - F_тр·S, где S - перемещение, м. Работа силы трения всегда отрицательна.

8. Работа сил упругости пружины: А=0, 5с∙ (λ ²₀ - λ ²₁), где с - коэффициент жесткости пружины; λ - удлинение пружины, м. Работа положительна при λ ₀> λ ₁ и отрицательна при λ ₀< λ ₁.

5.3.3. Д -2. Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы

Дано. Механическая система состоит из катков 1 и 2 (или катка и подвижного блока), ступенчатого шкива 3 с радиусами ступеней R₃= 0, 3 м, r₃ = 0, 1 м и радиусом инерции относительно оси вращения ρ ₃ = 0, 2 м, блока 4 радиуса R₄= 0, 2 м и грузов 5 и 6 (рис. Д 2.0 – Д 2.9, табл. Д-2); тела 1 и 2 считать сплошными однородными цилиндрами, а массу блока 4 – равномерно распределенной по ободу. Коэффициент трения грузов о плоскость f=0, 1. Тела системы соединены друг с другом нитями, перекинутыми через блоки и намотанными на шкив 3 (или на шкив и каток); участки нитей параллельны соответствующим плоскостям. К одному из тел прикреплена пружина с коэффициентом жесткости с.

Под действием силы F=f(s), зависящей от перемещения s точки ее приложения, система приходит в движение из состояния покоя; деформация пружины в момент начала движения равна нулю. При движении на шкив 3 действует постоянный момент М сил сопротивления (от трения в подшипниках).

Все катки катятся по плоскостям без скольжения.

Если по заданию массы грузов 5 и 6 или массы катков 1 (рис. Д 2.0-2.4) и 2 (рис. Д 2.5-2.9) равны нулю, то на чертеже их можно не изображать.

Определить: значение искомой величины в тот момент времени, когда перемещение s станет равным s₁= 0, 2 м. Искомая величина указана в столбце «Найти» таблицы Д 2, где обозначено: ω ₃ – угловая скорость тела 3; ε ₄ – угловое ускорение тела 4; v₅ – скорость тела 5; а_с2- ускорение центра масс тела 2 и т.п.

Указания. При решении задачи учесть, что кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий всех входящих в систему тел; эту энергию следует выразить через ту скорость (линейную или угловую), которую в задаче надо определить. При вычислении энергии для установления зависимости между скоростями точек тела, движущегося плоскопараллельно, или между его угловой скоростью и скоростью центра масс воспользоваться мгновенным центром скоростей. При вычислении работы необходимо все перемещения выразить через заданное перемещение s₁, учитывая при этом, что зависимость между перемещениями здесь будет такой же, как между соответствующими скоростями.

5.3.4. Пример Д -2

Механическая система состоит из грузов 1 и 2, ступенчатого шкива 3 с радиусами ступеней R₃ и r₃, радиусом инерции ρ ₃ относительно оси вращения, блока 4 радиуса R₄ и подвижного блока 5 (коэффициент трения грузов о плоскость равен f).Тела системы соединены нитями, намотанными на шкив 3.

К центру блока 5 прикреплена пружина с коэффициентом жесткости с; ее начальная деформация равна нулю.

Система приходит в движение из состояния покоя под действием силы F=f(s), зависящей от перемещения s точки ее приложения. На шкив 3 при движении действует постоянный момент М сил сопротивления.

Таблица Д-2

Дано: m₁=0 кг, m₂=5 кг, m₃=6 кг, m₄=0 кг, m₅=4 кг, R₃=0, 3 м, r₃= 0, 1 м, ρ ₃=0, 2 м, f=0, 1, с=240 Н/м, М=0, 6 Нм, F=80(3+2S)H, s₁=0, 2 м.

Определить: v_c5 в тот момент, когда s= s₁.

Решение

1.Рассмотрим движение неизменяемой механической системы, состоящей из весомых тел 2, 3, 5 и невесомых тел 1 и 4, соединенных нитями. Изобразим действующие на систему внешние силы: активные F, F_упр, Р₂, Р₃, Р₅, F_тр2, момент сопротивления М, натяжение нити S₅ и реакции связей N₂ , N₃, N₄ .

2. Для определения v_c5 воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии: , где – соответственно, сумма работ внешних и внутренних сил системы.

Для рассматриваемой системы, состоящей из абсолютно твердых тел, соединенных нерастяжимыми нитями, работа внутренних сил равна нулю.

В начальном положении все элементы механизма находились в покое, скорости всех тел были равны нулю, поэтому Т₀=0.

3. Кинетическая энергия системы равна сумме энергий всех тел системы:

Т= Т₂+ Т₃+ Т₅.

4. Выполним кинематический анализ:

- тело 2 движется поступательно;

- тело 3 вращается вокруг неподвижной оси;

- тело 5 участвует в плоскопараллельном движении.

Исходя из этого, кинетическая энергия системы может быть представлена выражением:

.

5. Кинетическая энергия Т, которую получила система после того, как груз переместился вдоль наклонной плоскости на расстояние s₁, зависит от искомой скорости v_c5. Поэтому все скорости, входящие в выражение кинетической энергии данной механической системы, выразим через скорость v_c5.

6. Поскольку грузы 1 и 2 связаны нерастяжимой нитью, то их скорости равны. В свою очередь эта нерастяжимая нить перекинута через малый обод шкива 3, следовательно: v₁= v₂= v_А, где v_А – любая точка обода радиуса r₃ шкива 3.

7. Линейные скорости шкива 2 и блока 5 зависят от одной угловой скорости ω ₃: v₂= ω ₃r₃, v₅= ω ₃R₃.

8. Поскольку точка К₅ является мгновенным центром скоростей для блока 5 (он как бы «катится» по участку нити К₅L), то v₅=2v_c5. Тогда:

9. Осевые моменты инерции подвижного блока 5 и ступенчатого шкива 3 определяется выражениями:

10. Выполнив подстановку всех приведенных выше значений в выражение кинетической энергии для заданной механической системы, получим:

.

11. Находим работу всех действующих внешних сил при перемещении, которое будет иметь система, когда груз 1 пройдет путь s₁=0, 2 м. Введем следующие обозначения: s₂ – перемещение груза 2 (s₂=s₁); φ ₃ – угол поворота шкива 3; h₅ – перемещение центра масс блока 5; λ ₀, λ ₁ –начальное и конечное удлинение пружины.

Сумма работ всех внешних сил равна:

, где

Работы остальных сил равны нулю:

- точка К₅ – мгновенный центр скоростей, поэтому работа силы натяжения

- нити S₅ равна нулю;

- реакция опоры N₂ перпендикулярна перемещению груза 2, а поэтому работы не совершает;

- реакции N₃, N₄, приложенные в неподвижных точках, не совершают работы.

По условию задачи λ ₀=0, тогда λ ₁ = s_c5 – перемещение конца пружины. Выразим величины s_c5 и φ ₃ через заданное перемещение s₁. Зависимость между перемещениями такая же, как между соответствующими им скоростями:

12. Поскольку v₅=v₃=ω ₃R₃ и v_c5=0, 5v₅, то v_c5=0, 5ω ₃R₃. Следовательно, λ ₁ = s_c5=0, 5φ ₃R₃=0, 5(s₁R₃)/r₃.

13. При найденных значениях φ ₃ и λ ₁ получим выражение для подсчета суммы работ всех внешних сил, действующих на механическую систему:

14. Кинетическую энергию приравниваем к работе:

=

=

Подставив в полученное выражение известные численные значения заданных величин, найдем искомую скорость v_c5.

Ответ: v_c5 = 2, 10 (м/c).

Литература

1. Аршинова, В.А. Конспект лекций по теоретической механике: учебное пособие / В.А. Аршинова, А.И.Зайцев. – Ярославль: ЯГТУ, 1998. – 176 с.: ил.

2. Голдобина Л.А. Теоретическая механика: контрольные задания и методические указания к выполнению курсовой работы для студентов специальности 311300 – «Механизация сельского хозяйства» дневной и заочной форм обучения / Л.А. Голдобина, К.А.Зиновьев. – Ярославль: ЯГСХА, 2000. – 64 с.: ил.

3. Первов, А.А. Методические указания к решению задач по теоретической механике для студентов механических и технологических специальностей. – Ярославль: ЯПИ, 1984. – 25 с.: ил.

4. Теоретическая механика: методические указания и контрольные задания для студентов-заочников машиностроительных, строительных, транспортных, приборостроительных высших учебных заведений/ Л.И. Котова, Р.И. Надеева, С.М. Тарг и др.; под ред. С.М. Тарга. – 4-е изд. – М.: Высш. шк., 1989. – 111 с.: ил.

5. Теоретическая механика: методические указания и контрольные задания для студентов-заочников машиностроительных, строительных, транспортных, приборостроительных высших учебных заведений/ Л.И. Котова, Р.И. Надеева, С.М. Тарг и др.; под ред. С.М. Тарга. – 4-е изд. – М.: Высш. шк., 1978. – 88 с.: ил.

Приложение А.1. Пример оформления содержания работы

Содержание

Стр.

Глава 1. Статика………………………………………………………………

1.1.С-1. Произвольная плоская система сил. Определение реакций

связей сплошной конструкции ………………….………………………

1.2.С -2. Произвольная пространственная система сил. Определение

реакций связей.……………………………………………………………….

Глава 2. Кинематика…………………………………………………………..

2.1. К -1. Кинематика точки. Определение скорости и ускорения точки

по заданным уравнениям ее движения………………………………………

2.2. К -2. Плоскопараллельное движение твердого тела. Определение

скоростей и ускорений точек многозвенного механизма………………….

2.3. К -3. Сложное движение точки. Определение абсолютной скорости

и абсолютного ускорения точки…………………………………………….

Глава 3. Динамика………………………………………………………………

3.1. Д -1. Динамика материальной точки. Интегрирование

дифференциальных уравнений движения материальной точки,

находящейся под действием постоянных сил………………………………

3.2. Д -2. Применение теоремы об изменении кинетической энергии

к изучению движения механической системы………………………………

Приложение А.2. Условные обозначения

№ п/п	Наименование величин	Обозначение
	Вектор силы
	Модуль силы	N, Q, ….F1, F2, … Fn
	Проекции силы на координатные оси	XA, YA, ZA
	Векторный момент силы относительно точки
	Скалярный момент силы относитнельно точки
	Момент силы относительно оси
	Относительные: скорость, ускорение
	Переносные: скорость, ускорение
	Угловая скорость
	Угловое ускорение
	Ускорение Кориолиса