Экспоненциальное распределение

В различных приложениях теории вероятностей, особенно в теории массового обслуживания, исследовании операций, в физике и т.д. широко применяется экспоненциальное (показательное) распределение.

Время занятости канала связи, время безотказной работы ЭВМ, продолжительность поиска чего–либо – все это экспоненциально распределенные случайные величины.

Неотрицательная величина X называется распределенной по экспоненциальному закону, если ее плотность распределения имеет вид

,

где - параметр экспоненциального распределения.

График плотности распределения изображен на рис. 13.

Рисунок 13 График плотности вероятности экспоненциально распределенной случайной величины

Определим основные числовые характеристики этого распределения:

,

т.е. математическое ожидание есть величина обратная параметру закона. Для отыскания дисперсии используем формулу

. Откуда средне – квадратичное отклонение будет равно

.

Вероятность попадания случайной величины на заданный участок, распределенной экспоненциально можно рассчитать, используя формулу

.

Вопросы для повторения

1 Какая величина называется случайной? Приведите примеры.

2 В чем отличие непрерывной случайной величины от дискретной?

3 Что понимают под законом распределения случайной величины?

4 На какие вопросы позволяет ответить ряд распределения и многоугольник распределения случайной величины?

5 Что называется функцией распределения? Как, зная функцию распределения случайной величины, определить вероятность попадания случайной величины в заданный интервал?

6 Что называется плотностью вероятности? Что она характеризует?

7 Как, зная плотность вероятности случайной величины, определить вероятность попадания случайной величины в заданный интервал?

8 Какими свойствами обладает математическое ожидание случайной величины и что физически оно характеризует?

9 Какими свойствами обладает дисперсия случайной величины и что физически она характеризует?

10 Какое применение находит среднее квадратичное отклонение?

11 Изобразите графики интегральной и дифференциальной функции распределения случайной величины, имеющей:

равномерное распределение;

нормальное распределение;

экспоненциальное распределение.

12 Как определяются числовые характеристики и вероятность попадания случайной величины в заданный интервал в случае ее:

равномерного распределения;

нормальное распределение;

экспоненциальное распределение.

13 В чем заключается сущность пуассоновского распределения? Чему равны числовые характеристики случайной величины с этим распределением?