Задача 3 практика 1

Задача 4.4. Частица массы находится в трехмерной кубической потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками. Сторона куба равна . Найдите: а) разность энергий 6-го и 5-го уровней; б) энергию 6-го уровня; в) кратность вырождения 6-го уровня.

Решение: Состояние частицы, находящейся в трехмерной кубической потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками, описывается волновой функцией

а энергия частицы, согласно (4.28), может принимать значения

где квантовые числа . Основному состоянию частицы, т.е. состоянию с наименьшей энергией, отвечают квантовые числа . Энергетические уровни возбужденных состояний определяются приведенным выражением для при последовательном увеличении суммы квадратов квантовых чисел (см. таблицу).

Номер уровня	Квантовые числа ()
	(1, 1, 1)
	(1, 1, 2), (1, 2, 1), (2, 1, 1)
	(1, 2, 2), (2, 1, 2), (2, 2, 1)
	(1, 1, 3), (1, 3, 1)(3, 1, 1)
	(2, 2, 2)
	(1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1)(3, 1, 2), (3, 2, 1)

Как следует из таблицы, шестому энергетическому уровню соответствует сумма квадратов квантовых чисел, равная четырнадцати, тогда как для пятого уровня эта сумма равна двенадцати. Таким образом, разность энергий шестого и пятого уровней составляет

Для энергии шестого уровня получаем

Обсудим теперь вопрос о кратности вырождения энергетических уровней частицы, находящейся в трехмерной кубической яме. Если квантовые числа , и равны между собой, то соответствующий энергетический уровень оказывается невырожденным. Таковы, например, энергетические уровни, отвечающие набору квантовых чисел (1, 1, 1), (2, 2, 2) и т.д. Если два из трех квантовых чисел равны между собой, но не равны третьему квантовому числу, то соответствующий энергетический уровень имеет кратность вырождения, равную трем. В частности, трехкратно вырожденными являются второй, третий и четвертый энергетические уровни. И, наконец, если квантовые числа не равны между собой, т.е. если , то кратность вырождения определяется числом возможных перестановок из трех чисел, т.е. равна шести. Именно эта ситуация реализуется для шестого энергетического уровня. Таким образом, кратность вырождения шестого уровня .