![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Частица в яме конечной глубины
В разделе 4.2 мы рассмотрели движение частицы в потенциальных ямах с бесконечно высокими стенками. Переход к анализу движения частицы в яме конечной глубины будем проводить поэтапно и сначала рассмотрим частицу в потенциальной яме с одной бесконечно высокой стенкой (рис.4.18). Такая задача представляет практический интерес, поскольку потенциальная энергия двух частиц, между которыми действуют силы притяжения, например, двух атомов, образующих молекулу, по виду близка к рассматриваемой модели.
Одномерная яма с одной бесконечно высокой стенкой. Рассмотрим частицу, движущуюся в одномерной потенциальной яме вида
При Обозначим цифрой I область
а в области II
Вводя обозначения
приводим уравнения (4.56) и (4.57) к виду
Решая уравнения (4.59), находим
Воспользуемся условиями, налагаемыми на волновую функцию. Поскольку волновая функция должна быть всюду конечной, а первое слагаемое в (4.60b) при Перейдем теперь к анализу граничных условий. Непрерывность волновой функции
Разделив первое уравнение (4.61) на второе, приходим к соотношению
которое и определяет энергетический спектр частицы в яме. Ввиду того, что уравнение (4.62) является трансцендентным, получить значения энергии частицы Уравнение (4.62) легко преобразуется к виду
Построим графики левой и правой частей уравнения (4.63) как функции параметра
определяют корни уравнения (4.63), отвечающие искомым значениям энергии частицы
где Приведенные графики показывают, что энергетический спектр частицы является дискретным. Чем больше глубина Найдем условия, при которых в яме существует хотя бы один энергетический уровень. В этом случае коэффициент, определяющий наклон прямой в правой части уравнения (4.63), должен удовлетворять неравенству
Выражая отсюда
Обсудим это соотношение подробнее. Именно при выполнении этого условия уравнение Шредингера для частицы в яме имеет решение, т.е. в яме имеется хотя бы один энергетический уровень. Говорят, что в этом случае существует связанное состояние частицы в яме. Отметим, что в левую часть неравенства (4.64) входят только параметры потенциальной ямы - ее ширина Если потенциальная яма недостаточно глубока или недостаточно широка, так что условие (4.64) не выполняется, то уравнение Шредингера для частицы в яме не имеет решения, или, как говорят, в яме не помещается ни одного энергетического уровня. В физике такие случаи достаточно хорошо известны. Так, например, между двумя нейтронами или между двумя протонами действуют ядерные силы притяжения, однако связанного состояния двух нейтронов или двух протонов в природе не существует - потенциальная яма, соответствующая взаимодействию этих частиц, имеет недостаточную ширину и глубину. Сила взаимодействия между протоном и нейтроном лишь незначительно превышает силу взаимодействия для двух протонов или двух нейтронов, однако этого превышения оказывается достаточно, чтобы появилось связанное состояние нейтрона и протона - дейтрон. В потенциальной яме, характеризующей взаимодействие протона с нейтроном, помещается лишь один энергетический уровень. Это означает, что дейтрон всегда находится в основном состоянии и не имеет возбужденных состояний. Вернемся к анализу волновых функций данной задачи. При
что означает, что уравнение Шредингера, как и в случае ямы с двумя бесконечно высокими стенками, имеет осциллирующее решение. Наибольший интерес представляет вид волновой функции в области II
Волновая функция
Рассмотрим теперь случай
и
где Решение уравнения (4.65a) с учетом условия на границе ямы
Решение уравнения (4.65b) представим в виде
Производя сшивку волновых функций и их производных в точке
Решая эту систему относительно амплитуд
Отметим, что соотношения (4.68) определяют амплитуды
Обсудим вид волновых функций (4.66) и (4.67). Каждая их них представляет собой сумму двух волн де Бройля: волны Потенциальная прямоугольная яма конечной глубины. Рассмотрим частицу, находящуюся в области потенциальной прямоугольной ямы конечной глубины (рис.4.20). Такая модель качественно описывает
движение заряженной частицы, например электрона, вблизи атома и применяется в атомной физике и физике твердого тела. Пусть потенциальная энергия частицы имеет вид
Рассмотрим сначала случай
Вводя обозначение
Решения этого уравнения имеют вид
Для того, чтобы волновая функция была ограничена, нужно потребовать, чтобы В области II, т.е. внутри потенциальной ямы, уравнение Шредингера
имеет осциллирующее решение Таким образом, волновые функция частицы для данной задачи имеют вид
Сшивая волновые функции и их производные в точках
которые легко привести к виду
Исключая из этих двух соотношений
которое и определяет вид энергетического спектра частицы в яме. Отметим, что отрицательные значения В силу того, что аргумент функции
значения Покажем с помощью графического метода, что энергия частицы в яме квантуется, т.е. энергетический спектр, определяемый уравнением (4.70), имеет дискретный характер. Для этого построим графики левой и правой частей уравнения (4.70) в зависимости от
части представляет собой прямую линию При уменьшении глубины ямы
в яме остается лишь один энергетический уровень. Подчеркнем, что в прямоугольной потенциальной яме конечной глубины всегда имеется по крайней мере один энергетический уровень, т.е. одно связанное состояние частицы.
Легко убедиться, что энергетический спектр (4.70) при бесконечном возрастании глубины ямы, т.е. при Качественный вид волновых функций (4.69) для данной задачи приведен на рис. 4.23. Внутри потенциальной ямы волновые функции
имеют вид синусоид, а вне ямы убывают по экспоненциальному закону. Отметим, что для состояний с большей энергией (и, следовательно, меньшей разностью Перейдем теперь к анализу случая, когда энергия частицы
где
Согласно (4.71) каждая из волновых функций представляет собой сумму двух волн де Бройля: волны, идущей в направлении Первое слагаемое в Условия сшивки волновых функций и их производных в точках
решение которой позволяет найти амплитуды Для амплитуды прошедшей волны
Коэффициент прохождения
Таким образом,
Подставляя в (4.73) значения
Из (4.74) следует, что коэффициент прохождения При
Проведенный анализ дает квантово-механическое объяснение обсуждавшемуся в гл.2 эффекту Рамзауэра. Напомним, что в опыте Рамзауэра наблюдалась прозрачность атомов инертных газов для пучка электронов при определенном значении энергии электронов. Конечно же, более адекватным опыту Рамзауэра было бы рассмотрение движения электрона в области трехмерной потенциальной ямы. Однако, уже решение одномерной задачи позволяет не только качественно объяснить результаты опыта, но и получить определенные количественные соотношения. Условие
где
|