![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Квантовый гармонический осциллятор
Как известно, гармоническим осциллятором называется система, способная совершать гармонические колебания. В физике модель гармонического осциллятора играет важную роль, особенно при исследовании малых колебаний систем около положения устойчивого равновесия. Примером таких колебаний в квантовой механике являются колебания атомов в твердых телах, молекулах и т.д. Рассмотрим одномерный гармонический осциллятор, совершающий колебания вдоль оси
где Рассмотрим сначала поведение классического гармонического осциллятора. Пусть частица с полной энергией
В квантовой механике для решения задачи о гармоническом осцилляторе нужно решить уравнение Шредингера (4.6) с потенциальной энергией (4.77)
Вводя величины
и переходя к новой безразмерной переменной
Анализ показывает, что волновые функции, являющиеся решением уравнения (4.80), будут непрерывными и конечными не при всех значениях параметра
Выражая, согласно (4.79), энергию осциллятора
Это соотношение и определяет закон квантования энергии гармонического осциллятора. Отметим, что энергетические уровни гармонического осциллятора, в отличие, например, от случая прямоугольной потенциальной ямы, являются эквидистантными, т.е. расположены на одинаковом энергетическом расстоянии
Еще одной важной особенностью спектра (4.81) является наличие так называемых нулевых колебаний - колебаний с энергией Нулевые колебания играют в физике весьма важную роль, в частности они обусловливают отсутствие кристаллизации жидкого гелия при нормальном давлении даже при абсолютном нуле температур. Велика роль нулевых колебаний и в объяснении природы сил молекулярных взаимодействий, физических особенностей поверхностного натяжения, адсорбции и других молекулярных явлений. На эксперименте наличие нулевых колебаний наблюдается, в частности, в опытах по рассеянию света кристаллами при низких температурах. Покажем, что значение нулевой энергии
Амплитуда колебаний
Аналогично, для неопределенности импульса имеем
Подставляя
т.е. действительно, минимальное значение энергии гармонического осциллятора есть Эквидистантность энергетических уровней гармонического осциллятора (4.83) на первый взгляд означает, что осциллятор может поглощать и испускать излучение с частотой
Условия, которые определяют изменение квантовых чисел при разрешенных переходах системы из одного состояния в другое, называются правилами отбора. Таким образом, правила отбора, характеризующие испускание и поглощение электромагнитного излучения гармоническим осциллятором, имеют вид (4.82). Перейдем теперь к анализу волновых функций гармонического осциллятора. Как показано в теории дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, волновые функции, являющиеся решениями уравнения (4.80), имеют вид
где
Отметим, что для этих полиномов справедливо рекуррентное соотношение
позволяющее найти
Волновые функции (4.83) ортонормированы, т.е. удовлетворяют условию
где Приведем вид волновых функций для первых трех энергетических уровней гармонического осциллятора
Графики волновых функций для значений квантового числа
которой совершал бы колебания классический осциллятор. Ширина этой области оказывается различной для разных значений квантового числа Из (4.83) - (4.85) следует, что волновые функции гармонического осциллятора обладают определенной четностью. Они являются четными функциями координаты Отметим, что вне классической области При малых значениях квантового числа
изображенной на рис.4.27 пунктирными линиями. Так, при
максимумом в точке При значительной величине квантового числа Отметим, что модель гармонического осциллятора и связанная с ним задача о движении частицы в параболической потенциальной яме является идеализацией, справедливой лишь при малых отклонениях колеблющейся частицы от положения равновесия. Во всех реальных ситуациях потенциальная энергия Выполненный в данной главе анализ движения частиц в прямоугольной и параболической потенциальных ямах показывает, что не смотря на отличие в форме ямы, в поведении частицы в яме имеется много общего: 1. Энергетический спектр частицы, находящейся в яме, является дискретным, т.е. энергия частицы квантуется. 2. Частица, находящаяся в основном состоянии, т.е. на самом низшем энергетическом уровне, обладает не равной нулю энергией. 3. Плотность вероятности нахождения частицы 4. При увеличении квантового числа Подчеркнем, что отмеченные свойства не зависят от формы потенциальной ямы, т.е. от вида потенциальной энергии Следует отметить еще одно важное обстоятельство: энергетический спектр частицы является дискретным (энергия квантуется) только в тех случаях, когда частица находится в потенциальной яме. Если же частица движется в области потенциального порога, барьера, или над потенциальной ямой (при
|