Задача 2 практика 2

Задача 4.8. Частица массы находится в одномерной потенциальной яме с одной бесконечно высокой стенкой (рис.4.17). Глубина ямы равна , ширина - . Считая, что у частицы в яме имеется лишь один энергетический уровень , найдите:

а) значение у такой ямы; б) наиболее вероятное значение координаты частицы ; в) вероятность нахождения частицы в области .

Решение: Условие, определяющее возможные значения энергии частицы при имеет вид (4.63)

где . Подставляя сюда значение , получаем

Поскольку в яме находится всего один уровень, то значение аргумента синуса должно лежать в пределах от до (см. обсуждение после формулы (4.63)). Следовательно, решение уравнения имеет вид

Отсюда находим, что ширина и глубина ямы должны удовлетворять условию

Найдем теперь наиболее вероятное значение координаты частицы

. Плотность вероятности нахождения частицы в яме определяется квадратом модуля волновой функции . Поскольку внутри ямы (см. (4.60а)) , то решая задачу на экстремум, получаем

Отсюда следует, что , где . В силу того, что , в полученном решении следует оставить только значение . Таким образом,

Учитывая связь между и (4.78), приходим к окончательному выражению

Найдем теперь вероятность нахождения частицы в области . Обозначим через и вероятности нахождения частицы соответственно внутри и вне ямы. С учетом вида волновых функций (4.60a) (4.60b)

где

Соотношение между амплитудами и определим из условия сшивки волновых функций при

С учетом того, что и, следовательно, , получаем

Отношение вероятностей и равно

Принимая во внимание, что , для получаем

Полученный результат означает, что с достаточно высокой вероятностью ~ 15% частица находится вне потенциальной ямы.