Свойства неопределенного интеграла

1.

2.

3.

4.

5.

6. Если

то

Непосредственным интегрированием называют интегрирование с помощью таблицы неопределенных интегралов, первого и второго свойств неопределенного интеграла и тождественных преобразований подынтегральной функции.

Пример 1. Проверить, является ли функция первообразной для функции

Решение. Найдем производную функции F (x):

Согласно формуле (19.1) функция F (x) является первообразной функции f (x).

Пример 2. Проверить, является ли функция первообразной для функции найти неопределенный интеграл и нарисовать интегральные кривые из семейства первообразных для

Решение. По формуле (19.2) неопределенный интеграл имеет вид: Построим интегральные кривые (рис. 19.1).

Рис. 19.1

Пример 3. Путем непосредственного интегрирования найти неопределенные интегралы:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

Решение. 1) Используя первое и второе свойства неопределенного интеграла и формулы (19.3) и (19.5) таблицы интегралов, получаем:

2) Используя второе свойство неопределенного интеграла и формулу (19.6) таблицы интегралов, имеем:

3) Применяя формулу и формулу (19.10) таблицы интегралов, получаем:

4) С помощью формулы (19.13) таблицы интегралов находим:

5) Применяя формулу первое и второе свойства неопределенного интеграла, формулы (19.4) и (19.9) таблицы интегралов, получаем:

6) С помощью формулы (19.14) таблицы интегралов находим:

Пример 4. Используя интегрирование дифференциала, найти:

1) 2) 3) 4)