Метод поднесения под знак дифференциала

Для вычисления интеграла используют определение дифференциала:

Согласно этому методу не делают явно замену переменной, подразумевая, что g (x) играет роль новой независимой переменной.

При использовании метода поднесения под знак дифференциала, метода замены переменной, метода подстановки удобно использовать простейшие преобразования дифференциала:

1) (b – произвольная постоянная величина);

2) (постоянная );

3) (постоянная

Пример 1. Найти неопределенный интеграл:

1) 2) 3) 4)

Решение. 1) 1-й способ. Используем метод замены переменной. Положим Тогда Имеем:

Для вычисления интеграла использовали формулу (19.3) таблицы неопределенных интегралов.

2-й способ. Используем метод поднесения под знак дифференциала. Представим данный интеграл в следующем виде:

Учитывая, что по формуле (19.3) таблицы неопределенных интегралов получаем:

2) Поскольку то Поднесение под дифференциал приводит далее к интегралу

Для вычисления интеграла использовали формулу (19.8) таблицы неопределенных интегралов.

3) Очевидно, что Значит,

Применяя формулу (19.14) таблицы интегралов, получаем ответ:

4) Используя второе свойство неопределенного интеграла, представим заданный интеграл в виде суммы двух интегралов:

Вычислим полученные интегралы отдельно. Так как то, используя далее формулу (19.5) таблицы интегралов, получаем:

Так как то по формуле (19.3) таблицы интегралов имеем:

Подставив найденные значения интегралов I ₁(x) и I ₂(x) в первоначальный интеграл, приходим к ответу:

Пример 2. Методом подстановки найти интеграл:

1) 2) 3)

Решение. 1) Используем метод подстановки. Положим тогда

Для вычисления последних интегралов использовали формулы (19.4) и (19.9) таблицы интегралов. Выразим переменную t через переменную x.

Тогда

Получаем ответ:

2) Применим подстановку тогда Таким образом,

Для вычисления интеграла использовали формулу (19.3) таблицы интегралов.

3) Применим подстановку тогда Получаем:

Используя тригонометрическое тождество имеем:

Вернемся к переменной x, для чего выразим t через x из подстановки Тогда

Таким образом,