Интегрирование некоторых выражений,

содержащих квадратный трехчлен

Рассмотрим некоторые виды интегралов, содержащих квадратный трехчлен в подынтегральном выражении, и способы их вычисления. Всюду далее считаем

Для вычисления интеграла вида

(19.17)

выделим полный квадрат в квадратном трехчлене:

Сделаем замену переменной Тогда интеграл (19.17), в зависимости от знака выражения сводится к одному из интегралов или

Вместо замены переменной (после выделения полного квадрата) можно использовать также метод поднесения под знак дифференциала.

Интеграл вида

(19.18)

также вычисляется выделением полного квадрата в квадратном трехчлене. Он сводится к интегралу

если

или к интегралу

если

Рассмотрим интеграл вида

где (19.19)

В числителе подынтегральной функции выделяем производную квадратного трехчлена, записанного в знаменателе. Тогда интеграл (19.19) можно представить в виде суммы двух интегралов, один из которых сводится к интегралу а второй вычисляем как интеграл вида (19.17).

Интеграл вида сводится к сумме интегралов и вида (19.18).

Интегралы вида сводятся к рассмотренным выше интегралам с помощью подстановки

Интеграл вида после выделения полного квадрата и замены сводится к одному из интегралов или которые могут быть вычислены методом интегрирования по частям (см. п. 19.4.) или с помощью тригонометрических подстановок (см. п. 19.7.), или как интеграл от дифференциального бинома (см. п. 19.8).

Пример 1. Найти неопределенный интеграл:

1) 2)

3) 4)

Решение: 1) Выделим в знаменателе дроби полный квадрат:

Используем метод поднесения под знак дифференциала. Интеграл примет вид:

Для вычисления последнего интеграла использовали формулу (19.13) таблицы интегралов.

2) Вынесем в знаменателе подынтегрального выражения множитель 2 за скобки и выделим полный квадрат, получим:

Заменим и Интеграл примет вид:

Для вычисления последнего интеграла использовали формулу (19.15) таблицы интегралов. Возвращаясь к переменной x, имеем:

3) Выделив в подкоренном выражении полный квадрат, получаем:

Используя метод поднесения под знак дифференциала и формулу (19.16) таблицы интегралов, имеем:

4) Выделим в подкоренном выражении полный квадрат:

Применив метод поднесения под знак дифференциала и формулу (19.14) таблицы интегралов, получаем:

Пример 2. Найти неопределенный интеграл:

1) 2) 3)

Решение: 1) Найдем производную квадратного трехчлена, записанного в знаменателе дроби,

Выделим производную знаменателя в числителе дроби:

Тогда

Используя второе свойство неопределенного интеграла, представим данный интеграл в виде суммы двух интегралов

Выделим в знаменателе второго интеграла полный квадрат:

Для вычисления полученных интегралов используем метод поднесения под знак дифференциала и формулы (19.5) и (19.13) таблицы интегралов:

2) Выделим в подкоренном выражении полный квадрат:

Заменив получим:

Для вычисления суммы интегралов использовали метод поднесения под знак дифференциала и формулы (19.3) и (19.14) таблицы интегралов.

3) Найдем производную квадратного трехчлена

Выделим ее в числителе дроби, чтобы получить дифференциал знаменателя:

Для вычисления интеграла использовали метод поднесения под знак дифференциала и формулу (19.5) таблицы интегралов.

Пример 3. Найти неопределенный интеграл

Решение: Применим подстановку тогда Получаем: