Краткая теория. Раздел II. Введение в анализ

Раздел II. Введение в анализ

Глава 5. Функция

Краткая теория

1. Если каждому элементу (значению) множества поставить в соответствие определенный элемент (значение) множества , то говорят, что на множестве задана функция ; при этом множество называется областью определения функции , а множество - областью значений функции .

2. Функция называется четной, если для любых значений из области определения функции , и нечетной, если . В противном случае - функция общего вида.

3. Функция называется возрастающей (убывающей) на некотором промежутке , если большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции . Возрастающие или убывающие функции называются монотонными.

4. Функция называется ограниченной на промежутке , если существует такое число , что , для всех . В противном случае функция называется неограниченной.

5. Если функция есть функция переменной (определенной на множестве с областью значений ), а переменная , в свою очередь, также является функцией (определенной на множестве с областью значений ), то заданная на множестве функция называется сложной функцией.

6. Основные элементарные функции:

а) степенная функция ;

б) показательная функция

;

в) логарифмическая функция

;

г) тригонометрические функции ;

д) обратные тригонометрические функции .

7. Функции, построенные из основных элементарных функций при помощи конечного числа алгебраических действий и конечного числа операций образования сложной функции, называются элементарными.

8. Функция называется периодической с периодом , если для любых .

9. Преобразование графиков:

а) - сдвигает график параллельно оси на единиц, ( - влево, - вправо);

б) - сдвигает график параллельно оси на единиц ( - вверх, - вниз);

в) - растягивает в раз или сжимает график относительно оси ; при симметрично отображает график относительно оси ;

г) - растягивает в раз или сжимает график относительно оси , при симметрично отображает график относительно оси .

10. Абсолютная величина (модуль) действительного числа :

5.1. Найти область определения функции

.

Решение. Так как выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательно, знаменатель дроби отличен от нуля, а выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть положительно, то область определения функции найдем из системы неравенств:

или откуда

Значения переменной , которые удовлетворяют всем неравенствам системы одновременно, есть .

5.2. Найти область значений функции .

Решение. Воспользуемся определением обратной функции, в соответствии с которым область ее определения будет являться областью значений исходной функции. Найдем функцию, обратную к функции , выражая через или .

Так как , то , откуда и , т.е. найденный полуинтервал и является областью значения искомой функции.

5.3. Выяснить четность (нечетность) функции:

а) ; б) .

Решение:

а) Найдем

Так как , то по определению (п.2) искомая функция является четной;

б) так как и , то по определению (п. 2) искомая функция является функцией общего вида.

5.4. Найти основной (наименьший) период функции .

Решение: По определению периодической функции (п. 8) для любых и . Для имеем:

, или , откуда . т.е. . Полученное равенство будет выполняться при любых , т.е. тождественно, если сомножитель, не содержащий , будет равен нулю, т.е. и наименьшее (не равное нулю) .

5.5. Постоянные издержки (не зависящие от числа х произведенной продукции) составляют 125 тыс. руб. в месяц, а переменные издержки (пропорциональные ) – 700 руб. за каждую единицу продукции. Цена единицы продукции 1200 руб. Найти объем продукции , при котором прибыль равна: а) нулю (точка безубыточности); б) 105 тыс. руб. в месяц.

Решение:

а) Издержки производства единиц продукции составят: (тыс. руб.). Совокупный доход (выручка) от реализации этой продукции , а прибыль (тыс. руб.). Точка безубыточности, в которой , равна (ед.).

б) прибыль равна 105 (тыс. руб.), т.е. при (ед.).

5.6. Продолжительность выполнения (мин.) при повторных операциях связана с числом этих операций зависимостью . Вычислить, сколько минут выполняется работа при 50 операциях, если известно, что при , а при .

Решение. Найдем параметры и , учитывая, что , . Имеем систему:

решая которую найдем .

Итак, и при (мин.).

Найти области определения функций:

5.12. .

5.13. .

5.14. .

5.15. .

5.16. .

Найти области значений функций:

5.17. .

5.18. .

5.19. .

5.20. .

5.21. .

Выяснить четность (нечетность) функций:

5.22. .

5.23. .

5.24. .

5.25. .

5.26. .

Найти наименьший период функций или доказать их непериодичность:

5.27. .

5.28. .

5.29. .

5.30. .

5.31. .

5.32. Дана функция , найти .

5.33. Дана функция , найти .

5.34. Известно, что , а . Найти .

5.35. Известно, что , а . Найти .

5.38. Предприятие купило автомобиль стоимостью 150 тыс. руб. Ежегодная норма амортизации составляет 9 %. Полагая зависимость стоимости автомобиля от времени линейной, найти стоимость автомобиля через 4, 5 года.

5.39. Зависимость уровня потребления некоторого вида товаров от уровня дохода семьи выражается формулой: . Найти уровень потребления товаров при уровне дохода семьи 158 ден. ед. Известно, что при ; при ; при .

5.40. Банк выплачивает ежегодно 5% годовых (сложный процент). Определить: а) размер вклада через 3 года, если первоначальный вклад составил 10 тыс. руб.;

б) размер первоначального вклада, при котором через 4 года вклад (вместе с процентными деньгами) составит 10000 руб.

Указание. Размер вклада через лет определяется по формуле , где - процентная ставка за год, - первоначальный вклад.