Краткая теория. 1. Функция называется непрерывной в точке x0, если она удовлетворяет следующим условиям: 1) определена в точке x0; 2) имеет конечный предел при х→ x0;

1. Функция называется непрерывной в точке x₀, если она удовлетворяет следующим условиям: 1) определена в точке x₀; 2) имеет конечный предел при х → x_{0 ;}

3) этот предел равен значению функции в этой точке: (6.1)

(первое определение).

2. Функция называется непрерывной в точке x₀, если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции: (6.2)

(второе определение).

3. Если функции и непрерывны в точке, то их сумма, произведение и частное (при условии, что знаменатель отличен от нуля) являются функциями, непрерывными в этой точке.

4. Если функция у = непрерывна в точке u₀ = , а функция u= непрерывна в точке x₀, то сложная функция у = непрерывна в точке x₀.

5. Функция называется непрерывной на некотором промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка. Все элементарные функции непрерывны во всех точках, где они определены.

6. Если не выполнено определение непрерывности (6.1) или (6.2), то функция в точке x₀ терпит разрыв, причем:

а) если хотя бы один из односторонних пределов или

бесконечен, то x₀ - точка разрыва второго рода;

б) если оба односторонних предела и конечны, но не равны между собой, то x₀ — точка неустранимого разрыва первого рода;

в) если оба односторонних предела и конечны, равны между собой, но не равны , то x₀ — точка устранимого разрыва первого рода.

6.168. Исследовать на непрерывность функции у = в точке х = 1. В случае разрыва установить его характер в точке х = 1:

а) ; б) ; в) ; г) .

Решение: а) При х = 1 функция не определена, следовательно, функция в точке

х = 1 терпит разрыв (рис. 6.1): , т.е. конечный предел существует; следовательно, х = 1 — точка устранимого разрыва первого рода. (Доопределив функцию в точке х = 1, т.е. положив = 0, получим, что новая функция

будет уже непрерывна в точке х = 1.)

6) При x = 1 функция не определена, следовательно, функция в точке x = 1 терпит разрыв (рис. 6.2):

Так как односторонние пределы (достаточно было бы одного) бесконечны, то х = 1 – точка разрыва функции второго рода.

в) При х = 1 функция определена, (x -1) = 0, (x -1) = 0, у (1) = 1 - 1 = 0, т.е. у (х)= у (х) = у (1) = 0, следовательно, функция в точке х = 1 непрерывна

(рис. 6.3).

г) При х = 1 функция определена, у (1)=0,

у(х)= (х +1)=2, у (х)= (х -1)=0,

имеем у (х) ≠ у (х), таким образом, в точке х = 1 функция терпит неустранимый разрыв первого рода (рис. 6.4.)