Краткая теория. 1. Геометрический смысл производной

1. Геометрический смысл производной. Если кривая задана уравнением или , то есть угловой коэффициент касательной (тангенс угла ее наклона с положительным направлением оси абсцисс).

Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид:

, (7.30)

а уравнение нормали:

. (7.31)

Углом между двумя кривыми , в точке их пересечения называется угол между касательными к этим кривым в точке , тангенс которого находится по формуле:

. (7.32)

2. Механический смысл производной. Если точка движения по закону , где - путь, - время, то представляет скорость изменения пути в момент . Вторая производная пути по времени есть скорость изменения скорости или ускорение точки в момент .

7.109. Составить уравнение касательной и нормали к графику функции в точке с абсциссой .

Решение. Вычислим значение функции в точке : . Производная функции . Значение производной в точке : . Согласно (7.30), уравнение касательной имеет вид: , или , а уравнение нормали (7.31) - , или .

7.110. Составить уравнение касательной к графику функции , проходящей через точку .

Решение. Определим абсциссу точки касания из условия, что точка принадлежит касательной, т.е. ее координаты удовлетворяют уравнению (7.30): .

Подставляя в это соотношение выражение для значения функции и ее производной в точке , получим уравнение вида: . Решая его относительно , найдем, что . Определив значение функции и ее производной в этой точке, уравнение касательной запишем в виде: , или .

7.111. Составить уравнение касательной и нормали в точке (1; 4) к кривой, заданной параметрически: , .

Решение. Найдем значение , при котором , , из решения системы: Получим, что .

Производную определим по формуле (7.27): .

Значение производной при : .

Тогда уравнение касательной запишется в виде: , или , а уравнение нормали примет вид: , или .

7.112. Найти угол между параболами и в точке их пересечения.

Решение. Решив совместно систему уравнений парабол, находим точку их пересечения: и Продифференцировав уравнения парабол , , найдем их угловые коэффициенты в точке пересечения: Согласно (7.32), тангенс угла между параболами будет равен: Следовательно,

Составить уравнение касательной и нормали к кривым в указанных точках:

7.113.

7.114.

7.115.

7.116.

7.117.

7.118.

7.119.

7.120.

7.121. Какой угол образует с осью абсцисс касательная к графику функции, проведенная в указанной точке? Написать уравнение касательной:

а) б)

7.122. Составить уравнение касательной к кривой параллельной прямой, проходящей через точки (1; 7) и (-2; 2).

7.123. Составить уравнения касательных к кривой перпендикулярных прямой

7.124. Составить уравнение касательной к кривой перпендикулярной прямой, образующей с осью абсцисс угол .

7.125. Составить уравнения касательных к кривой

а) параллельных прямой

б) перпендикулярных прямой .

7.126. Составить уравнение касательной к кривой :

а) проходящей параллельно биссектрисе второго и четвертого координатных углов;

б) отсекающей на оси абсцисс отрезок, равный –1.

7.127. Составить уравнение касательной к графику функции , проходящей через точку М (6; 2).

7.128. Найти угол между кривыми:

а) и ; б) и ; в) и .

7.129. Тело движется прямолинейно по закону s(t). Определить скорость и ускорение тела в указанный момент времени :

а) , ; б) , .

7.130. Тело, брошенное вертикально вверх, движется по закону: . Найти начальную скорость и ускорение тела () и максимальную высоту подъема (при которой скорость ).

7.4. Предельный анализ экономических процессов