Расчет коротких балок на упругом основании.

Функции Крылова

Рис. 2.8

Значительно более сложным оказывается решение для корот­ких балок, когда требуется учесть условия на обоих концах балки. К таким балкам относится, например, рельсовый путь на шпалах (рис.2.8). Для коротких балок нельзя использовать реше­ния, полученные для балок беско­нечной длины и требуется исходить из общего интеграла (2.9), содержа­щего четыре произвольные посто­янные интегрирования. Для реше­ния обычно пользуются нормаль­ными фундаментальными функ­циями уравнения (2.5). Эти функ­ции называемые функциями Крылова, являются решениями однородного уравнения (2.5) и удовлетворяют специальным условиям при x = 0.

Cоставим следующую таблицу, в которой сведены начальные значения функций Крылова и их производных:

. (2.34)

Так как во всех клетках этой таблицы стоят нули, лишь на главной диагонали единицы, то система частных решений U_k, называется системой с единичной матрицей. Эти решения суть:

. (2.35)

Следует отметить, что производные функций Крылова (12.35) выражаются снова через те же функции, причем:

. (2.36)

Таким образом, общий интеграл уравнения (12.9) может быть представлен через функции Крылова:

. (2.37)

Постоянные интегрирования C ₁ , C ₂ , C ₃ , C ₄ имеют здесь со­вершенно определенный смысл. Действительно, если положить x = 0, и воспользоваться свойством (2.34) введенных функций, получим:

(2.38)

Таким образом:

. (2.39)

Формула (2.39) представляет общий интеграл уравнения (2.5). Постоянные интегрирования имеют здесь простой смысл: это на­чальные (при x = 0) значения искомой функции и ее производные. Поэтому, метод интегрирования дифференциальных уравнений, основанный на формуле (2.39), и широко применяемый в строи­тельной механике, называется методом начальных пара­метров.