Расчет шпалы рельсового пути, как короткой балки

На упругом основании

Пусть требуется определить прогибы и внутренние усилия в железобетонных шпалах E = 3, 05× 10¹⁰ Н/м², длиной 2 l = 2, 7 м, с размерами поперечного сечения b ´ h = 0, 25´ 0, 18 м², лежащей на балластном слое щебня k ₁ = 75 МПа (см. табл.5.1), нагруженной дву­мя силами P = 210 кН каждый, приложенных на расстоянии a = 0.54 м от ее концов (рис.5.8).

Решение:

1. Расчет начальных параметров

Последовательно вычисляем все необходимые геометрические и жесткостные расчетные характеристики для заданной системы:

м4;

м3;

H× м2;

Па;

.

 

 

Таблица 2.7

bz	sinbz	cosbz	shbz	chbz	U1(bz)	bU2(bz)	b2U3(bz)	bU4(bz)
0, 0	0, 0000	1, 0000	0, 0000	1, 0000	1, 0000	0, 0000	0, 0000	0, 0000
0, 1	0, 0998	0, 9950	0, 1002	1, 0050	0, 9999	0, 1000	0, 0050	0, 0002
0, 2	0, 1987	0, 9801	0, 2013	1, 0201	0, 9998	0, 1999	0, 0200	0, 0024
0, 3	0, 2955	0, 9553	0, 3045	1, 0453	0, 9986	0, 2999	0, 0450	0, 0045
0, 4	0, 3894	0, 9210	0, 4108	1, 0811	0, 9957	0, 3997	0, 0800	0, 0107
0, 5	0, 4794	0, 8776	0, 5211	1, 1276	0, 9896	0, 4989	0, 1249	0, 0208
0, 6	0, 5646	0, 8253	0, 6367	1, 1855	0, 9784	0, 5974	0, 1797	0, 0360
0, 7	0, 6442	0, 7648	0, 7586	1, 2552	0, 9600	0, 6944	0, 2443	0, 0571
	0, 7071	0, 7071	0, 8687	1, 3246	0, 9366	0, 7754	0, 3071	0, 0806
0, 8	0, 7173	0, 6967	0, 8881	1, 3374	0, 9318	0, 7890	0, 3185	0, 0851
0, 9	0, 7833	0, 6216	1, 0265	1, 4331	0, 8908	0, 8803	0, 4020	0, 1211
1, 0	0, 8415	0, 5403	1, 1752	1, 5431	0, 8337	0, 9667	0, 4944	0, 1659
1, 1	0, 8912	0, 4536	1, 3356	1, 6685	0, 7568	1, 0464	0, 5951	0, 2203
1, 2	0, 9320	0, 3624	1, 5095	1, 8107	0, 6562	1, 1173	0, 7034	0, 2851
1, 3	0, 9636	0, 2675	1, 6984	1, 9709	0, 5272	1, 1767	0, 8183	0, 3612
1, 4	0, 9854	0, 1700	1, 9043	2, 1509	0, 3656	1, 2216	0, 9382	0, 4489
1, 5	0, 9975	0, 0707	2, 1293	2, 3524	0, 1663	1, 2485	1, 0620	0, 5490
	1, 0000	0, 0000	2, 3013	2, 5092	0, 0000	1, 2546	1, 1507	0, 6273
1, 6	0, 9996	-0, 0292	2, 3756	2, 5775	-0, 0753	1, 2536	1, 1873	0, 6615
1, 7	0, 9917	-0, 1288	2, 6456	2, 8283	-0, 3643	1, 2320	1, 3118	0, 7864
1, 8	0, 9738	-0, 2272	2, 9422	3, 1075	-0, 7060	1, 1788	1, 4326	0, 9236
1, 9	0, 9463	-0, 3233	3, 2682	3, 4174	-1, 1049	1, 0886	1, 5463	1, 0726
2, 0	0, 9093	-0, 4161	3, 6269	3, 7622	-1, 5655	0, 9559	1, 6420	1, 2320
2, 1	0, 8632	-0, 5048	4, 0219	4, 1443	-2, 0920	0, 7736	1, 7359	1, 4019
2, 2	0, 8084	-0, 5885	4, 4571	4, 5679	-2, 6882	0, 5348	1, 8016	1, 5789
2, 3	0, 7457	-0, 6663	4, 9370	5, 0372	-3, 3563	0, 2334	1, 8408	1, 7614
	0, 7071	-0, 7071	5, 2280	5, 3228	-3, 7634	0, 0335	1, 8484	1, 8651
2, 4	0, 6754	-0, 7374	5, 4662	5, 5569	-4, 0976	-0, 1388	1, 8459	1, 9460
2, 5	0, 5985	-0, 8011	6, 0502	6, 1323	-4, 9126	-0, 5883	1, 8105	2, 1292
2, 6	0, 5155	-0, 8569	6, 6947	6, 7690	-5, 8003	-1, 1236	1, 7256	2, 3065
2, 7	0, 4274	-0, 9041	7, 4063	7, 4735	-6, 7568	-1, 7509	1, 5827	2, 4725
2, 8	0, 3390	-0, 9422	8, 1919	8, 2527	-7, 7757	-2, 4604	1, 3885	2, 6290
2, 9	0, 2392	-0, 9710	9, 0596	9, 1146	-8, 8503	-3, 3083	1, 0835	2, 7443
3, 0	0, 1411	-0, 9900	10, 0179	10, 0677	-9, 9670	-4, 2486	0, 7068	2, 8346
3, 1	0, 0416	-0, 9991	11, 0765	11, 1215	-11, 1114	-5, 3019	0, 2304	2, 8822
	0, 0000	-1, 0000	11, 5487	11, 5920	-11, 5920	-5, 7960	0, 0000	2, 8872

 

Поместим начало системы координат xy в центре тяжести левого крайнего сечения шпалы. Граничные условия задачи в начальном сечении при x = 0запишем в виде:

M ₀ = 0; Q ₀ = 0. (2.48)

Согласно (12.40)¸ (12.43) запишем функции прогибов, углов пово­рота и внутренних усилий для I участка ():

(2.49)

Составим соответствующие выражения для II участка (), учтя, что на границе участков I и II, т.е. при x = a и имеем скачок функции поперечной силы на величину :

; (2.50)

; (2.51)

; (2.52)

. (2.53)

Для определения и , используем симметричный характер нагружения балки относительно среднего сечения x = l, где имеем:

; .

Составим следующую систему уравнений:

; (2.54)

, (2.55)