Свойства множества действительных чисел

Пусть заданы два действительных числа х и у: х = а₀, а₁а_г...а_п..., у = Ь₀, 1\Ъ_г..Ъ_п...

Теорема 1.29^(связность). Для любых двух действительных чи­сел л: и у выполняется одно и только одно из трех соотношений: или.X < у, или А" = у, или.X > у.

Определение 1.15. Положительное действи тельное число х мень­ше положительного действительного числа, у(-\' < у) тогда и толь­ко тогда, когда а₀< Ь₀\ если же а₀~ Ь₀, то существует такое наимень­шее I, что а.< д..

Теорема 1.30^ (транзитивность). Для любых действительных чи­сел справедливо следующее утверждение: х < у л у < 2 х < 2.

Из теорем 1.29.—1.30. можно сделать вывод, что множество действи­тельных чисел линейно упорядочено отношением " меньше".

Теорема 1.31. Множество Я дейст вительных чисел несчетно.

То есть действительные числа никоим образом занумеровать невоз­можно, как это было сделано с целыми числами и С рациональными числами. Докажем эту теорему.

Доказательство. Допустим, что все действит ельные числа, записан­ные в виде бесконечных десятичных дробей, удалось пронумеровать с помощью натуральных чисел:

• < г> т_], а₁а₂...а_п...

• +> т₂, Ь₁Ь₂...Ь_п...

................. _2

где т. обозначают целую часть, а буквы а, Ь, с... -V представляют сов десятичные знаки после запя той. Допустим, что эта последовательней дробей охватывает все действительные числа. Образуем новое чйр

2 = 0, аЬс..., которое не равно первому числу, так как отличается отНв

первой цифрой после запятой, оно не равно второму числу, так X отличается от него второй цифрой после запятой, и вообще отличай от 72-го числа последовательности, т. к. отличается от него «-ой цифр* после запя той.

Итак, появилось новое число, которого нет в нашей последоватвЛ иости. Значит, множество действительных чисел несчетно. _; .

Теорема 1.32. Множество Я действительных чисел бесконечна

*

Теорема 1.33. Множество Я действительных чисел плотно, Т. между любыми двумя числами лежит бесконечное множество дейоТв тельных чисел.

Множество Я действительных чисел является непрерывным): (МЫ числовое множество Xрасполагается слева от числового множества то найдется хотя бы одно число, которое разделяет эти множссТИ Множество (? рациональных чисел этим свойством не обладает.

Таким образом, множество Я действительных чисел упорядочение бесконечное, плотное и несчетное.

Между точками числовой прямой и множеством действитольИЬ чисел устанавливается взаимнооднозначное соответствие. Каждой ке Р числовой прямой соответствует точно одно действительное ЧИШ а, _и каждому действительному числу а соответствует точно ОДНИ Т0Ч1 /^числовой прямой (рис. 1. 5).

-Н—I-- 1---- 1—- 1—ь-

-> /5-2 -1 0 1^2

Рис. 1.5/