Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Правила вычислений во множестве 7,
|
|
• Верно утверждение: -(-а)- а.
Действительно, из 11.1. а. + (~а)~ 0 и (-а) + а - 0 следует (по теореме 1. 2.), что а~ 0 - (-а) или а ~-(-а.).
• Верно утверждение: Ь+(-а) -Ъ-а.
Число х-Ъ~а является решением уравнения а + х = Ъ. Подставим в это уравнение вместо х = Ъ + ( -а ), тогда на основании коммутативности и ассоциативности сложения будем иметь:
а + (Ъ + (-а)) = а + ((-а) +Ь) = (а + (-а)) + Ь = О +Ь = Ь.
• Из а < Ъ следует, чтсга > -Ь.
На основании свойствасложения II.3. прибавим к обеим частям неравенства а< Ъ сумму (-а) + (-Ь), получим: а + ((-а) + (-Ъ)) < Ь + ((-а) + (-Ь)). На основании положений 11.1. и 11.2. и правила 2 получим: (а + (-а)) + (-Ь)< Ь + ((-/>) + (-а», 0+ (~Ь) < (Ь + + С-аЛ -6 < 0-а,
-Ь < -а, у\ - Л > ' б.
• Для любого числа а верно равенство: й - 0 = 0- а = 0.
Пусть имеем верное равенство Ъ + 0 = Ь. Обе части этого равенства
умножим на а, получим (Ь+ 0) • а = Ь- а. Откуда следует 0 - а = 0.
• Если Ъ-а = Ои Ъ Ф &, то а = 0.
Из того, что Ъ. а - 0 и Ъ* 0 = 0 по теореме 1.5. следует, что а- ~
0 : > и 0 = Откуда а- 0.
• Выполняется равенство а - (Ь - с) = а - Ь - а-с.
Это равенство следует из положений IV.1., IV.3., правила 2, IV. 2.:
а- (Ь - с) + а-с = (Ь - с)-а + с-а = ((Ь - с) +с)- а = ((& --(-€)) +с)> «(Ъ + ((-с) + с))-а = (Ь + 0)а = Ъ-а = йг -
С в о й с т в а множества целых чисел
Теорема 1.12. (V а, Ь& 2) либо а < Ъ, либо а = Ъ, либо а> Ь.
Теорема 1.13^('транзитивность отношения " меньше").
(\/а, Ъ, с & 2) а < Ь л Ъ < с -> а < с.
Докажем эту теорему для отрицательных чисел. Пусть а > О, Ь > О, с > 0. Пусть - а < -Ь, тогда | -а | > | ~Ь т. е. а > Ь;
-Ь < -с -Ъ | > | -с\7 т. е. Ь > с.
Тогда из того, что а> ЬаЬ> ^следует а > с или | | > | -с \-> -а< -с.
Т. о^доказано, что если -а Ь и ~Ъ < -с, то ~а < -с.
Из #йх теорем следует, что множество ^всех целых чисел линейно упорядочено. Располагая целые числа по порядку так, чтобы каждое меньшее число предшествовало большему, можно представить множество целых чисел в виде последовательности: ^={..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}.
Следует отметить, что:
• во множестве 2 целых чисел нет ии первого числа, ни последнего;
• каждому целому числу непосредственно предшествует единственное целое число;
• за каждым целым числом непосредственно следует единственное целое число.
Теорема 1.14 (счетность). Множество 2 целых чисел счетно, т. е. 2~М.
Доказательство представляет собой установление взаимно однозначного соответствия м ежду множествами 2 и N.
2 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3,..., п, -п,...
| I |
А Л А А А Л Л А А
V у Ф у у у у у у
N 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,..., 2 п, 2й+1,...
Теоре ма 1.15. Множество 2 целых чисел бесконечное.
Это следует из предыдущей теоремы, т. к. 2~№ и N—бесконечное, то 2 — бесконечное.
Теорема 1.16. Множество 2 целых чисел дискретно.
Доказательство аналогично доказательству дискретности множества N.
Таким образом, множество ^обладает свойствами упорядоченности, бесконечности и дискретности.
Следует отметить, что в множестве.2" целых чисел выполняется главное требование расширения множества ^натуральных чисел—операция вычитания теперь всегда выполнима и однозначна. Деление все еще остается операцией не всегда выполнимой даже тогда, когда делитель не равен 0.