Понятие рационального числа

Во множестве целых чисел не всегда выполнима операция деления, даже если делитель отличен от 0, т. е. уравнение ах = Ь (а Ф 0) не всегда имеет решение.

Поэтому поставим задачу расширить множество Ъ целых чисел до такого множества < 2, в котором были бы выполнимы все операции мно­жества 2, причем^в множестве () они должны обладать теми же свой­ствами, какими обладали в множестве 2. При этом в расширенном мно­жестве должно быть выполнимо деление, кроме деления на 0.

Построим множество < 2, вводя дроби как доли единицы.

Определение 1.7. Пара чисел (а, Ь), гдеяе2Т, Ь& N, записанная

в виде называется обыкновенной дробью. Число а называется

чисштелем, Ь называется знаменателем.

Доказательство транзитивности равенства дробей. Из равенств

т _ р р г

₇-₇и_Г7по признаку равенства дробей следуют равенства

тд = пр, рз - дг. Умножим первое равенство на а второе — на п. Получим: гпдя = пр$, рзп - дгп. Отсюда из транзитивности равенства

с т г

целых чисел будем иметь: тдз - дгп или тч = пг, т. е. — = -.

п $

Теорема 1.1 ЩХосновпое свойство дроби). Если числитель и зна­ менатель данной дроби умножить или разделить на одно и то же нату­ ральное число, то получим дробь, равную данной, то есть:

т т-к т ник.

— =----- или— = ——, где/сбУУ.

п п- к п т к

Таким образом, отношение равенства дробей является отношением эквивалентности и задает разбиение множества всех дробей на классы эквивалентности.

Определение 1.8. Множество эквивалентных дробей называ­ ется рациональным числом.

\т 2т кт 1

То есть класс | _л ' ~кп I ^{эквивалентных} Дробей является ра­ циональным числом. Такие дроби обозначают равные числа. Каждая дробь в отдельности является формой записи некоторого рациональ­ ного числа.

Важно замепшть, что всякое целое число а можно также изобра­ зить различными дробями: 0 = -.Несократимой дробью ~ на­ зывается дробь, у которой тип взаимно простые числа, т. с. О(т.п) * 1. Для любого рационального числа найдется одна представляющая ОГО дробь, числитель и знаменатель которой взаимно простые числа.

Объединение множества целых чисел и множества всех несократи­ мых обыкновенных дробей образует множество (> рациональных ЧИЖ*

^ х та т р та

Отсюда получаем — = —- или —= —

у пр п д пр

Теорема 1.22. Для любой пары чисел а и Ь, где а & 0, существует только одно решение х уравнения а-х-Ь. Число л* называют частным (или дробью) чисел Ь и а и обозначают:

Ь,

г = — или х = о: а.

а

Для рациональных чисел верно следующее утверждение (правило):

7. Если а < Ъ и а.Ъ > 0, то -< -.

Ъ а

Для доказательства умножим обе части неравенства а < Ь на поло-

11 11

жительное число На основании IV. 1. и 1У.4. и я. — = 1, Ь-— = \ сле-

а Ь а Ь

дует данное утверждение.

* Задания-упражнения

1.2. На основании зависимости между компонентами и результата­ми действий найдите х из уравнения:

а) (0, 8 ■ 7 + 0, 64) • (1, 25 ■ 7 - 0, 8х) + 31, 64 = 80;

4, 5: [ 47-- (26, (З)-0, 75*)-2, 4: 0, 8 8

17, 81: 1, 37 - 23 —: 1— 3 6

1.4.3. С в о й ст в а множества рациональных чисел

_ „ „ т р т р

Определение 1.13. — < — о тд< пр или — > — -о- пщ> пр.

п д п д

Теорема 1.2< ^(связность)- Для любых рациональных чисел вер­но одно и только одно из трех соотношений:

_ т р _ т р - т р либо — < —, либо — > —, либо — = —. п д п д п д

Это следует из соотношений целых чисел: либо тд < пр, либо тд > пр, либо тд = пр.

Теорема 1.24^ (транзитивность). Для любых рациональных чи-

(т р р г\ т г сел верно: —< —л—< - —< - \п д д п $

Таким образом, множество рациональных чисел линейно упорядо­чено отношением " меньше".

Теорема 1.25. (счетность), Множество рациональных чисел счетно.

Покажем это, установив взаимнооднозначное соответствие между множеством натуральных и множеством рациональных чисел (рис. 1.2):

N1 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...

Рис. 1.2^

Значит, множество т. е. множество рациональных чисел счетно. Теорема 1.26. Множество рациональных чисел бесконечно.

Теорема 1.27. Множество рациональных чисел плотно.

Это значит, что между любыми двумя рациональными числами со­держится бесконечное множество рациональных чисел. Возьмем два

7 г

неравных числа г₁ и г₇, где г< т_у Число —1 удовлетворяет требуемо-

т + т ^

му условию: г_: < ¹ ■ ² < г₂. С помощью указанного способа можно най­ти и записать бесконечно много рациональных чисел.