Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Деление комплексных чисел






Из определения умножения комплексных чисел выводится знак О как для обращения умножения:

,, _. (ас + Ьб Ьс - абл, „

(а; Ь) О с; б) = — ? > ~2- г < с; * (0; 0).

^с + б с + < Г'

При всех вычислительных операциях можно заменять действительные комп­лексные числа вида (а; 0) на действительное число а. Для чисто мнимого числа (0; 1) для краткости используется буква /'. Для любого комплексного числа (а; Ь) получается (по определению умножения и сложения): (а; Ь) = а + Ы (< " Рис. 24).

п При этом

И / • / = (0; 1) ■ (0; 1) = (0 • 0-1 • 1; 0 • 1 + 1 • 0) = < -1; 0) = -1 Взаимно сопряженные комплексные числа

Определение: г есть_число, комплексно сопряженное к г ~ а + Ы. Верно по определению, что г = к - Ы.

Взаимно сопряженные комплексные числа отличаются, следовательно, толь­ко знаком мнимой части. Они расположены на комплексной числовой плос­кости симметрично относительно действительной оси.

Вычисления с комплексными числами

При вычислениях комплексные числа вида а + Ы рассматриваются как суммы действительных чисел.

т а) (2 - 5/) + (6 - 3/) = 8-81= б) (4 + 3/) - (1 - 3/) = 3 + 6/ = = 8(1-/); =3(1+2/);

в) (7 + 2/) • (4 + 0-7 • 4 + 2/ ■ 4 + 7 • / + 2/2 = = 28 + 15/+ 2 • (-1) = = 26 + 15/';

 

4/ _ (3 - 4/)(4 - 5/) _ (4 + 50(4 - 5/)

12 + 20 Г - 31/

16 - 25 /2 -8 - 31/ = _ 31. 41 41 41

(Умножение числителя и знаменателя на число, комплексно сопряженное зна­менателю.)

Г)

5/

Модуль комплексного числа

Определение: Модуль |г| комплексного числа г = а + Ы есть \г\ = ■ + Ь2 Рис. 24).

Модуль комплексного числа определяет его расстояние от начала координат числовой плоскости. / Модуль действительного числа, с. 40.

Имеем \г\ = \г\ = 4г~г\ • г2\ = 1^1 2|;

, {г2 ф 0).

Ригонометрическая форма комплексного числа

^сли ввести полярную систему координат на комплексной плоскости, то риожно записать комплексное число г = х + /у ф 0) в так называемой триго­нометрической форме (/" Рис. 25).

x = г' СОЗ ф у = Г ■ 3! П ф г - х + /у

2 = Г (СОБ ф + I 51П ф)

(тригонометрическая форма)

Рис. 25

; ею ф = * -

4- у

Угол ф называется аргументом 2(агд 2). Он однозначно определен с точно- 0ТЫ0 до прибавления 2ял (где п — целое).

Комплексное число г = 0 нельзя представить в тригонометрической форме, тек как ему не может быть однозначно сопоставлен аргумент. / Полярные координаты, с. 300 и далее.

 

 

Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме

Для комплексных чисел - г-, (соз < р1 + / зт щ) \л г2- ^(соз ф2 + ' 8'п Ф2) имеем:

а) гл ' г2~ Г \ * Г2С05 [(Ф1 + Ф2) +' 8'п (Ф1 + гл г,

б) - - - [соз (Фч - ф2) + /' 51П (ф1 - ф2)].

2 '2

■ • г2 = ^(соз ф-| + /' 31П ф.-,) • г2(соз ф2 + / з! п ф2) =

= гл ' Г2[С03 ф-|С05 Ф2 - 31П ф-(51П ф2 + /(81П Ф1С03 ф2 + СОЗ ф-, 51П ф2)] =

= г-| • г2[соз (фч + ф2) + / 81П (фч + ф2}] (Теоремы сложения для синуса и косинуса.)

Теоремы сложения для функций зт и соз, с. 130. Комплексные числа в тригонометрической форме умножают, умножая моду­ли и складывая аргументы.

Чтобы разделить комплексные числа в тригонометрической форме, надо разделить модули и взять разность аргументов.

И Дано: гл - -1 - 3/; г2 = 2 + /'.

Умножение: ^ • *2 = (-1 - 3/)(2 + /) = -2 - / - 6/ - З/'2 = 1 - 7/.

-1 - 3/ (-1 - 3/)(2 - /) -2 + / - 6/ + З/2 -5 -5/.. Деление: 21: г2 = -- г = Чт--------------------------------- —г2 =------------ 5--- = —~— - -1 -

1 ^ 2 + I (2 + /)(2 -/) 4 - / 5

Преобразование в тригонометрическую форму:

= х1 + /у1 ~ -1 - 3/ = х2 + /у2 = 2 + 1

Х1=-1; У1=- з х2 = 2; у2=1

п = М + к? = 71 о 1 2 2 Г2= л/Х2 + У2 =
СОЗ ф1 = — = 1   *2 2 созФ2=- = ^
Ул ЗШ ф1 = - = - " Лб У 2 1 з, пф2=-= л
Фч - 251, 57°   ф2 - 26, 57°

Следовательно, Следовательно,

2ч = л/То (соз 251, 57° + / зт 251, 57°); г2 = 75 (соз 26, 57° + 1з1п 26, 57°)

Умножение: • 22 = 710 • л/5 (соз 278, 14° + /' зю 278, 14°) =1-7/ (с точно­стью до ошибок округления).

Деление: ^ = ^ (соз 255° + / з'ш 225°) = 72 [~\Л - ^72/) = -1 - /.


Поделиться с друзьями:

mylektsii.su - Мои Лекции - 2015-2024 год. (0.007 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал