Представление рациональных чисел

Каждое рациональное число г можно представить в форме '

г-—, т е 1, п е N, /7*0. п

Возможность такой формы представления следует из того факта, что множе­ство рациональных чисел состоит из множества дробных чисел и множвОТИ противоположных им чисел.

Для неотрицательных рациональных чисел (дробных чисел) эта форма Пр§Д«ставления получается из определения дробных чисел. Для отрицательных рациональных чисел эта форма представления получмтО! ¹ из определения деления рациональных чисел, например:

(-9: 7 = -(9: 7) = -|)

Из возможности превращения дробных чисел в конечные или бесконечны! периодические десятичные дроби получается возможность представлен ИР рациональных чисел равным образом в виде конечных или бесконечных ГЯ- риодических десятичных дробей, например:

О _

=-0, 27.

^ Преобразование форм представления дробных чисел, с. 51.

Quot;

Изображение рациональных чисел на числовой прямой

Каждое рациональное число можно однозначно связать с точкой чио/ГФЮЙ оси

Упорядочению неотрицательных рациональных чисел соответствует упорядочение дробных чисел (/* С. 47). Упорядочение отрицательных рациональных чисел получа­ют или отражением дробных чисел относительно нуля, или с помощью теоремы об отрезках, отсекаемых на сторонах угла параллельными прямыми

Наглядно для

Параллельные прямые: х а - 5 5

7 ~ 5 ~ з-; итакх = -з

Рис. 22

Действительные числа Действительные числа

Определение: Множество действительных чисел равно множеству всех конечных или бесконечных отрицательных или неотрицательных десятич­ных дробей за исключением чисел, имеющих девять в периоде.

Замечание: Так как 0, (9) = 1, то десятичные дроби, имеющие девять в пери­оде, исключаются, чтобы достичь однозначности в представлении действи­тельных чисел десятичными дробями.

Множество действительных чисел обозначается символом К. Верно, что N с < С|₊ с О с К.

Иррациональные числа

Множество иррациональных чисел равно множеству бесконечных непери­одических десятичных дробей.

■ а) к = 3, 141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197...;

б) е = 2, 718 281 828 459 045...;

В) 1, 2345678910111213...;

Г) 0, 5050050005000050.... Десятичные дроби, с. 8.

Порядок действительных чисел

Исходя из представления положительных действительных чисел десятич­ными дробями а = а₀, а^а₃... или Ь = Ь₀, Ь-^Ьз--. определяется их поря­док.

Определение: Положительное действительное число а считается мены положительного действительного числа Ь (обозначается: а < Ь), если для наименьшего натурального числа к, для которого а_к * Ь_к.

а - 4, 72438651234... Ь = 4, 72439431234...

Имеем а < Ь, так как а₅ = 8 < 9 = Ь₅ и а_к = Ь_к для к = 0, 1 2, 3, 4.

Порядок произвольных действительных чисел устанавливается следующим об"

разом:

Из двух отрицательных действительных чисел меньше то, которое И1Й больший модуль.