Зростання і спадання функцій

Розділ 5 Дослідження функцій за допомогою похідної

Нагадаємо, що функція називається зростаючою (спадною) на інтервалі , якщо для довільних , якщо виконується нерівність .

Теорема 1.1. (достатня умова монотонності). Припустимо, що функція диферен­ційована на . Якщо для всіх , то – зростаюча на ; якщо для всіх , то – спадна на .

Зауваження. Якщо на , то стала на .
.
Геометрична інтерпретація умови монотонності функції наведена на рис. 1.

а б
Рис. 1. Зростаюча (а) та спадна функція (б)
Якщо дотичні до кривої на деякому проміжку спрямовані під гострими кутами до осі абсцис (рис. 1, а), то функція зростає, якщо під тупими (рис. 1, б), то спадає.

Приклад 1.1. Знайти інтервали монотонності функцій:
а) ; б) .
á а) Областю визначення цієї функції є множина
Знаходимо похідну функції: . Очевидно, що , якщо та і якщо , тобто функція зростає на інтервалах і та спадає на інтервалі (1; 3) (рис. 2.)

Рис. 2. Інтервали монотонності функції

б) Функція визначена на множині
Визначаємо похідну: .
Розв’язуючи нерівності і методом інтервалів, отримаємо, що ця функція зростає, якщо і спадає, якщо (рис. 3).

Рис. 3. Інтервали монотонності функції