Асимптоти графіка функції

Досі ми розглядали характерні точки графіка функції: точки екстремуму, точки перегину. Тепер розглянемо характерні лінії.

Означення 5.1. Асимптотою графіка функції називається пряма, яка має таку властивість: відстань від точки до цієї прямої стає як завгодно малою за необмеженого віддалення точки графіка від початку координат.

Розрізняють вертикальні (рис. 10, а) та похилі (зокрема горизонтальні) (рис. 10, б, в) асимптоти.

а) вертикальна асимптота; б) похила асимптота;

в) горизонтальна асимптота

Рис. 10. Асимптоти графіка функції

Визначення асимптот графіка функції ґрунтується на таких твердженнях.

Теорема 5.1. Пряма є вертикальною асимптотою графіка функції , якщо або .

Наприклад, графік функції має вертикальні асимптоти (див. додаток).
Теорема 5.2. Якщо існують скінченні границі і , то є похилою асимптотою графіка функції .

Якщо обидві границі скінченні лише коли , то пряма є відповідно тільки правосторонньою (лівосторонньою) похилою асимптотою графіка функції .

Приклад 5.1. Визначити асимптоти графіка функції .
á З області визначення “випадає” точка . Знайдемо границю функції, якщо :
, звідки – вертикальна асимптота.
Визначимо похилу асимптоту.
.
.
Отже, – похила асимптота графіка функції.