Загальна схема дослідження функцій і побудова їх графіків

Вивчення характерних точок і ліній графіка функції дає можливість всебічно її дослідити і досить точно побудувати ескіз графіка. Досліджувати функцію рекомен­дується за такою схемою:
1. Знайти область визначення функції.
2.Дослідити функцію на парність – непарність, на періодичність, встановити точки перетину графіка з осями координат та інтервали знакосталості функції.
3. Проаналізувати поведінку функції в нескінченності. Знайти вертикальні та похилі асимптоти графіка функції.
4. Визначити екстремуми та інтервали монотонності функції.
5. Знайти інтервали опуклості і увігнутості функції та точки перегину.
Приклад 6.1. Виконати дослідження і побудувати графік функції .
á 1) Область визначення функції .
2) ; отже, функція ні парна, ні непарна, неперіодична. Якщо , отримуємо , тому графік проходить через точку .
, якщо , якщо (рис. 11).

Рис. 11. Проміжки знакосталості функції

3) є точкою розриву функції; , тому є вертикальною асимптотою. Знайдемо похилі асимптоти:
;
.
Отже, – похила асимптота графіка функції.
Поведінка функції, якщо : .
4) Визначимо екстремуми функції та інтервали зростання і спадання:
.
Рівняння має два корені: , які є критичними точками функції. Розв’язуючи нерівності методом інтервалів (рис. 12), отримаємо: функція зростає, якщо , спадає якщо ; – точка мінімуму, .

Рис. 12. Проміжки зростання і спадання
5) Знайдемо точки перегину та інтервали опуклості та увігнутості

Якщо функція опукла , якщо функція увігнута ; – точка перегину (рис. 13).

Рис. 13. Точки перегину функції

На основі виконаних досліджень будуємо графік функції (рис. 14).

Рис. 14. Графік функції