![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Основные свойства сжимающих отображений
Теорема 9.2. Всякое сжимающее отображение метрического пространства Х в себя непрерывно на множестве Х. 3Выберем любую точку хоÎ Х. Для " e> 0 существует d (e)= Отображение f непрерывное на множестве Х, поскольку оно непрерывное в любой точке х0 этого множества. 4 Теорема 9.3 (принцип Банаха сжимающих отображений). Всякое сжимающее отображение полного метрического пространства (Х, r) в себя (f: Х Замечание. Х не является пустым множеством. 3Выберем любую точку х 0 Î Х и построим последовательность (хn) точек пространства Х по правилу: x1 = f (xo), x2 = f (x1), x3=f (x2), …, xn=f (xn- 1). (9.2) Докажем, что в метрическом пространстве (Х, r) эта последовательность сходится к некоторой точке 1. Докажем, что последовательность (xn) фундаментальная, т.е. (" e> 0)($N ½ " n, m > N) Þ [ r (xm, xn) < e ]. Обозначим r (x1, xо) =d (9.3). По условию теоремы f – сжимающее отображение. Используем неравенство (9.1) или определение (9.4). Имеем: r (f (x 1), f (x о)) = r (x 2, x 1) £ ar (x 1, x о) = a d, r (f (x 2), f (x 1)) =r (x 3, x 2) £ ar (x 2, x 1) £ a2r (x 1, x o) =a2d, r (f (x 3), f(x 2 )) £ ar (x 3, x 2) £ a 2 r (x 2, x 1) = a3d и г.д. Пользуясь методом математической индукции можно доказать, что r (xn+1, xn) £ and " nÎ N. (9.4) Выберем произвольные натуральные числа m и n (m> n)и оценим расстояние r (xm, xn), воспользовавшись неравенством треугольника и неравенством (9.1).Получим: r (xm, xn) £ r (xm, xm-1) + r (xm-1, xn) £ r (xm, xm-1) + r (xm-1, xm-2) + + r (xm-2, xn) £ r (xm, xm-1) + r (xm-1, xm-22) + …+ r (xn+2, xn+1) + r (xn+1, xn) £ £ am-1d + am-2 d +…+ and = d (am-1 + am-2 +…+ an) = d Þ r (xn, xm) £ d Т.к. 0 < a < 1, то am < 1. Поэтому r (xn, xm) £ d " e> 0 $N (e)½ " n> N Þ Из неравенств (9.5) и (9.6) следует r (xn, xm) < e. А это значит, что " e> 0 $N ½ " n, m > N Þ r (xm, xn) < e. Таким образом, последовательность (9.2) фундаментальная. 4 2. Докажем, что последовательность (9.2) сходится к числу По условию теоремы (Х, r) - полное метрическое пространство, (хn)–фундаментальная последовательность и поэтому она сходится к элементу пространства (Х, r), т.е. существует точка
3. Докажем, что Из равенства (9.7) следует, что В силу теоремы (9.2) всякое сжимающее отображение является непрерывным. Поэтому 4. Докажем единственность неподвижной точки. Используем метод от противного. Предположим, существует еще одна неподвижнаю точка х*. Таким образом существуют две точки Тогда r( Замечание. При доказательстве теоремы построен метод нахождения неподвижной точки с помщью последовательности (9.2). Метад нахождения неподвижной точки называется методом итерации, или методом последовательных приближений. Этим методом можно пользоваться при доказательстве того факта, что уравнение имеет единственное решение как для обычных алгебраических уравнений, так и для дифференциальных уравнений. Пример. Пусть f –отображение отрезка [ a, b ] в отрезок [ a, b ]. Предполагается также, что функция дифференцируемая, а ее производная удовлетворяет условию: ½ f’ (x)½ £ a (0 < a < 1) " x Î [ a, b ]. Докажем, что уравнение f (x) = x (9.8) имеет единственное решение. 3Заметим, что [ a, b ]– замкнутое множество полного метрического пространства R и поэтому подпространство Х = ([ a, b ], r (x, y) = ½ х-y ½) - полное метрическое пространство (Т.9.1). Данная функция f является отображением этого пространства в себя. Функция f удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа на [ a, b ], поэтому: " x1, x2Î [ a, b ] Þ ½ f (x1) – f (x2)½ = ½ f’(x) ½ × ½ x1- x2 ½ £ a ½ x1- x2 ½. Т.е. заданное отображение f – сжимающее отображение полного метрического пространства в себя. Поэтому по теореме Банаха существует одна точка
|