Непрерывные отображения компактных множеств и их свойства

Теорема 8.5. Пусть f – непрерывное отображение метрического пространства Х в метрическое пространство В (f: Х В). Если множество ЕÌ Х – компактно в метрическом пространстве Х, то его образ f (E) компактен в метрическом пространстве В.

Пример 8.5. Пусть задана отображение f: с R R; X = R, Y=R.

f (x) = x²; D (f) = [1, 2] Ì R – компакт в метрическом пространстве Х; E (f) = [1, 4] Ì R – компакт в пространстве В.

Теорема 8.6. Если отображение f: X Y непрерывно на компактном множестве ЕÌ Х, то оно и равномерно непрерывно на этом компакте Е.

Замечание 8.2. Теорема 8.6 обобщает теорему Кантора для действительной функции одной действительной переменной.

Определение 8.3. Пусть задано множество ЕÌ Х Отображение f: Х В называется ограниченным на Е, если образ множества Е: f (E)–ограниченное множество в В.

Теорема 8.7 (1 теорема Вейерштрасса ). Если отображение f компактного метрического пространства Х в метрическое пространство В непрерывно, то оно ограничено.

3В силу теоремы 8.5 множество f (X) компактное в метрическом пространства В и поэтому по теореме 8.3 оно ограниченное. 4

Напомним определение верхней (нижней) грани числовых множеств:

Верхней (нижней) гранью множества ЕÌ R называется такое число a, для которого выполняются следующие условия:

1) " хÎ Е Þ х£ a (х³ a);

2) " e> 0 $ хÎ Е, что х > a-e (x< a+e).

Лемма 8.1. Замкнутое ограниченное сверху (снизу) числовое множество EÌ R содержит сваю верхнюю (нижнюю) грань.

Определение 8.5. Пусть f - отображение метрического пространства Х в метрическое пространство R. Говорят, что f принимает наибольшее (наименьшее) значение в точке х₀, если для " хÎ Х выполняется неравенство

f (x) £ f (x_o)(f (x) ³ f (x_o)).

Теорема 8. 8 (2 теорема Вейерштрасса для компактных множеств). Если отображение f компактного метрического пространства Х в метрическое пространство R непрерывно, то оно достигает своего наибольшего и наименьшего значений на компакте Х.

3По теореме 8.5 образ кампактного множества Х при непрерывном отображении f - компактное множество f (X) в метрическом пространстве R. Поэтому по теоремам 8.2 и 8.3 оно будет ограниченным и замкнутым в R. По леммее 8.1 оно содержит сваю верхнюю грань a: $ точка х_оÎ Х такая, что f (x_o) =a. По свойству верхней грани f (x) £ a " xÎ X Þ f (x) £ f (x_o) " xÎ X. По определению 8.5 отображение f имеет наибольшее значение. 4

Аналогично доказывается, что отображение f имеет наименьшее значение.

Определение 8.6. Отображение f метрического пространства Х в метрическое пространство В называется взаимно однозначным, если:

1) каждому элементу х Î Х соответствует один элемнт вÎ В и

2) каждый элемент вÎ В соответствует одному элемнту х Î Х.

Теорема 8.9. Если f – взаимно однозначное и непрерывное отображение компактного метрического пространства Х на метрическое пространство В, то обратное отображение f ^{- 1} существует и также непрерывно. [1, ст.33].