Линейные нормированные пространства

Для линейного пространства можно ввести одно важное понятие, обобщающее понятие модуля.

Пусть А – линейное пространство над полем действительных чисел R (над полем С комплексных чисел).

Определение 10.2. Нормой на А называется действительная функция , определенная на множестве элементов пространства А и удовлетворяющая следующим аксиомам:

1) ³ 0 " хÎ A, при этом = 0 тогда и только тогда, когда х = q (аксиома невырождаемости нормы);

2) = ê l ê × " lÎ R (C), " xÎ A (аксиома однородности нормы);

3) (аксиома неравенства треугольника).

Симвалом определено значение функции в точке х, которое называется нормой элемента х.

Определение 10.3. Линейное пространство А с нормой на этом пространстве называется нормированным пространством.