Линейные операторы

Пусть X и Y – нормированные линейные пространства над полем R (C).

Определение 12.1 Отображение А из линейного пространства X в линейное пространство Y называется линейным оператором (А: с ; y = Ax), если выполняются следующие условия:

1) " x и y Î (аддитивность оператора);

2) " x Î X и " a Î R (однородность оператора).

Совокупность всех тех x Î X, для которых отображение определено, называется областью определения оператора и обозначается через D (A). Множество тех y Î Y, для которых y = Ax (x Î D (A)) называется областью значений (образом ) оператора A и обозначается через R (A). Множество тех x Î X, для которых Ax=q, называется ядром линейнага оператора и обозначается Ker A.

Замечание. Если Y - множество действительных чисел, тогда линейный оператор A называется линейным функционалом.

Пример 12.1. Пусть X - произвольное линейное пространство. Будем считать

І x = x для всех .

Оператор, который переводит каждый элемент пространства в себя, называется единичным оператором.

Пример 12.2. Пусть X, Y - произвольные линейные пространства и пусть

Qх = q для всех x Î X.

Q называется нулевым оператором, q - нулевой элемент пространства Y.

Пример 12.3. Примером оператора в пространстве C [ a, b ] является оператор возведения в квадрат: .

Областью определения оператора является все пространство C [ a, b ], областью значений – совокупность всех неотрицательных функций из C [ a, b ].

Пример 12.4. В пространстве C [ a, b ] можно рассмотреть линейный оператор дифференцирования: , который определен на непрерывно - дифференцируемых функциях. Областью значений этого оператора будет все пространство C [ a, b ].

Пример 12. 5. Для произвольных формулой

задается линейный интегральный оператор.