Пространство операторов

В множестве линейных операторов, определенных на линейном пространстве , с областью значений в линейном пространства , можно ввести алгебраические операции. Пусть и такия операторы.

Определим сумму операторов A и B следующим образом:

(A+B) x = Ax+Bx, xÎ X,, Очевидно, что - линейный оператор: (А + В): из .

Аналогично вводится понятие произведения линейного оператора на число: (aA) х = a (Aх) " х Î Х, aÎ R.

Очевидно, при таких определениях все необходимые аксиомы будут выполнены и множество линейных операторов будет являтся линейным пространством. В частности, нулем этого пространства будет нулевой оператор (пример 12.2).

Если Х и Y - нормированные пространства, тогда множество линейных непрерывных операторов может быть нормировано с помощью нормы .

Если рассматривать операторы, которые определены и действуют в одном и том же пространстве , то для них можно также ввести операцию произведения: по определению , если . Произведение, вообще говоря, некоммутативно: возможно, что .