Ограниченность и норма оператора

Определение 12.2. Линейный оператор называется ограниченным, если существует такое число , что для

. (12.1)

Замечание. В последнем неравенстве норма вычисляется в пространстве , которое содержит область значений оператора, а вычисляется в пространстве .

Определение 12.2 эквивалентно следующему.

Определение 12.2. Линейный оператор называется ограниченным, если он каждое ограниченное множество из отображает в ограниченное множество из .

Для проверки ограниченности оператора достаточно найти образ единичного шара пространства , или образ единичной сферы этой пространства и убедиться, что эти образы являются ограниченными множествами в .

Определение 12.3. Наименьшая из констанат , удовлетворяющих неравенству (12.1), называется нормой линейного оператора и обозначается

Примем без доказательства теорему.

Теорема 12.1. или .

Пример 12.6. Рассмотрим в пространстве C [ a, b ] функционал F, который действует по правилу: F (f (t)) = f (0), 0£ t £ 1. Найдем его норму: