Непрерывность линейного оператора

Определение 12.4. Оператор называют непрерывным в точке , если из условия следует .

Теорема 12.2. Если линейный оператор непрерывен в одной точке , тогда он непрерывен в любой точке из .

3 Пусть x - произвольная точка из D (A) и . Тогда , и поскольку оператор А непрерывен в точке , то .

Но по свойству аддитивности оператора

.

Поэтому , откуда и следует, что . 4

Теорема 12.3. Для того, чтобы линейный оператор был непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы он был ограниченным.

3необходимости.

Пусть непрерывный оператор неограничен. Таким образом, существует последовательность элементов (x_n) такая, что .

Пусть .Тогда Это значит, что .

С другой стороны, .

Поэтому при не стремится к нулю, а значит не стремится к нулю при : , что противоречит непрерывности оператора А. 4

3достаточности.

Пусть линейный оператор ограничен, т.е. .

Пусть , т.е. ; тогда и Þ , что определяет непрерывность . 4