Translate the following text into English. Преобразование устанавливает соответствие между числами или точками

Преобразование устанавливает соответствие между числами или точками. Оно ни коим образом не отличается от функции, но мы применяем термин «преобразование», когда хотим передать идею активной замены одной точки другой. Простым примером преобразования является параллельное смещение комплексной плоскости, которое заменяет точку z точкой z+a. Мы можем рассматривать точки z и z+a как лежащие в одной и той же или разных плоскостях. В первом случае подходящим обозначением было бы z → z+a; в последнем случае мы бы применили функциональное обозначение w=z+a. В более общем виде, если преобразование обозначено через Т, то мы будем писать либо z→ Tz, либо w=Tz.

Двойное (ангармоническое) отношение.

Если на расширенной плоскости даны три разные точки z₂, z₃, z₄, то существует линейное преобразование Т, которое переводит эти точки в 0, 1, ∞. Если ни одна из данных точек не является ∞, то Т будет задано формулой

Tz= .

Если z₂, z₃ или z₄ =∞, то преобразование, соответственно, приводится к виду

.

Если бы S было другим преобразованием с тем же самым свойством, тогда ST^-1 оставило бы точки 0, 1, ∞ инвариантными. Для

ST^-1=

эти условия означают, что b=c=0, a=d.

Следовательно, ST^-1 было бы приведено к тождественному преобразованию, и мы бы имели S=T. Отсюда заключаем, что Т определяется единственным образом.