ВПЦ “Київський університет”, 2006 5 страница

.

У системі СІ визначальним рівнянням для сили прийнято закон Ньютона. Одиниця виміру сили – ньютон (Н) визначається як сила, яка надає масі в 1 кгприскорення . Тому за формулою другого закону Ньютона

і, як наслідок, і

,

а також

.

У цьому випадку формула закону всесвітнього тяжіння визначає сталу як гравітаційну сталу

,

яка має розмірність .

Висновки. Таким чином, формула розмірності похідної фізичної величини однозначно визначається вибором основних одиниць виміру й визначального рівняння.

Одна й та сама формула розмірності може відповідати різним фізичним величинам. Так, наприклад, у СІ розмірності [роботи], [енергії], [моменту сили], [кількості теплоти] збігаються й дорівнюють

.

Кількість розмірних коефіцієнтів (фізичних сталих) у фізичних формулах залежить від кількості основних одиниць виміру. Чим більшою є кількість основних фізичних одиниць, тим більшою є кількість універсальних сталих у фізичних формулах. Це ускладнює формули й обчислення з їхньою допомогою. І навпаки, чим меншою є кількість основних одиниць виміру, тим меншою є кількість універсальних фізичних сталих і тим простішими є фізичні формули. Однак при цьому збільшується кількість похідних одиниць виміру, які мають однакові розмірності.

Переконаємося, що за допомогою формули розмірності (1.4.7)

є можливим досить простий перехід від однієї системи одиниць до іншої.

Нехай для фізичних величин одиницями виміру в першій системіє , а в другій – Відношення між одиницями виміру й відповідними числовими значеннями величин , які належать різним системам, визначають безрозмірні коефіцієнти

(1.4.11)

(оскільки у першій і другій системах виміру, то

поділивши першу одержану рівність на другу, отримаємо . Аналогічно отримуються інші безрозмірні коефіцієнти ). Безрозмірні коефіцієнти показують, у скільки разів одна одиниця виміру більша або менша другої і у скільки разів унаслідок цього зменшується або збільшується числове значення .

Для фізичної величини , яка пов’язана з залежністю (1.4.6)

,

числове значення визначається аналітичною формулою

Тому в першій системі одиниць матимемо

,

а в другій –

.

З урахуванням співвідношення (1.4.11) матимемо

Підставимо ці значення у співвідношення для :

Таким чином, знаходиться коефіцієнт

(1.4.12)

для перерахунку числового значення похідної фізичної величини з одної системи виміру в іншу. Одержана формула (1.4.12) має таку ж структуру, як і формула (1.4.7).

Приклад. Розглянемо залежність, що пов’язує шлях , який проходить тіло, час і швидкість :

. (1.4.13)

Розмірності шляху, часу і швидкості пов’язані аналогічною формулою:

. (1.4.14)

Розмірності і – незалежні, розмірність – похідна (залежна). Нехай числові значення цих величин виражаються в одиницях системи СІ, тобто відповідно в метрах, секундах і метрах за секунду (м, с, м/с). Позначимо ці числові значення .

Нехай у іншій системі одиниць ці ж самі числові значення виражаються в сантиметрах, хвилинах, сантиметрах за хвилину (см, хв, см/хв). Позначимо через числові значення тих самих величин у другій системі одиниць виміру. При цьому

.

За аналогією з рівністю (1.4.14) знаходимо

.

Тому

.

Числовий приклад. Нехай . Візьмемо в системі (м, с, м/с) , а . Це дозволить отримати вказану швидкість .

Якщо ці величини виразити в системі (см, хв, см/хв), то матимемо . Звідси . Це дозволяє отримати

.

Тому

.

4.2. -ТЕОРЕМА

Фізична закономірність, яка визначає стан чи зміну стану будь-якого матеріального об’єкта, існує об’єктивно, незалежно від того, відома вона чи ні. Нехай математичним описанням (розрахунковою моделлю) такої фізичної закономірності є функціональна залежність

(1.4.15)

між визначальними величинами .

-теорема. Залежність (1.4.15), що математично виражає стан чи зміну стану матеріального об’єкта і пов’язує величин

,

серед яких величин мають незалежні розмірності, може бути перетворена на залежність між незалежними безрозмірними степеневими комплексами фізичних величин вигляду

,

які називаються критеріями подібності.

Доведення. Нехай у рівнянні (1.4.15) функція невідома, але відомі всі розмірні визначальні фізичні величини , які містяться під її знаком (у тому числі й фізичні розмірні константи). Ставиться задача: знайти критерії подібності , за яких залежність (1.4.15) перетворюється на залежність

, (1.4.16)

де – також невідома функція.

Незалежними розмірностями будемо вважати такі, які не можуть бути отримані у вигляді степеневих комплексів розмірностей інших величин. Наприклад, розмірності і – незалежні; розмірності , і – залежні, оскільки

Отже, нехай серед визначальних фізичних величин рівняння (1.4.15) незалежні розмірності мають перші величин:

.

Інші величин

мають залежні розмірності, причому, . Позначимо ці величини для зручності через

.

Нехай розмірності цих величин визначаються співвідношеннями

На основі цих формул можна скласти безрозмірних степеневих комплексів

(1.4.17)

Ці комплекси називають критеріями подібності .

Доведемо тепер, що функціональна залежність (1.4.15)

може бути приведеною до критеріальної форми (1.4.16)

.

Для строгого доведення цього приймемо величини за основні й будемо виражати їх числові значення в незалежних одиницях . Значення як похідних величин будемо виражати в похідних одиницях .

Загальна структура математичного описання фізичної закономірності не залежить від одиниць виміру визначальних фізичних величин. Однак, залежно від того, які величини вибрані за основні, у математичному описанні можуть з’явитися розмірні сталі, які належать до визначальних фізичних величин. За такої умови зі зміною розмірностей основних величин у математичному описанні змінюються тільки значення безрозмірних сталих коефіцієнтів.

Значення визначальних величин у вибраних одиницях виміру пов’язані рівнянням

. (1.4.18)

Змінимо розмірності одиниць виміру величин відповідно у разів. Тоді нові значення будуть дорівнювати

(1.4.19)

Закономірність, яка описується визначальним рівнянням (1.4.18), не залежить від вибору системи одиниць. Тому маємо

. (1.4.20)

Виберемо безрозмірні коефіцієнти рівними

.

Якщо числові значення змінні, то змінними будуть і . Це означає використання незвичної системи одиниць виміру, що неперервно змінюються, системи, яка принципово завжди можлива, але очевидно у всіх випадках, крім даного, є дуже незручною. За таких умов згідно із системою (4.19) маємо

де – безрозмірні степеневі комплекси – критерії подібності. Рівняння (1.4.20) набуває при цьому критеріальної форми (1.4.16):

Таким чином, залежність між розмірних величин замінилася залежністю між безрозмірних степеневих комплексів .

Ця доведена теорема дозволяє не використовувати при встановленні критеріїв подібності математичне описання об’єкта, який розглядається.

Приклад. Розглядається явище протікання електричного струму через послідовно з’єднані опір і ємність після підключення сталого напруження . Це явище характеризується в кожний момент часу конкретними значеннями

Отже, перехідний процес у -контурі визначає залежність, що пов’язує п’ять фізичних величин: Їх розмірності в системі СІ дорівнюють

Звідси видно, що розмірності величин і виражаються через розмірності величин і :

, (1.4.21)

.

З останньої рівності маємо

. (1.4.22)

Тому з п’яти визначальних величин три – – мають незалежні розмірності. Отже, у даному випадку . Тому залежність між може бути заміненою залежністю між двома деякими степеневими комплексами і , складеними з Ці комплекси на основі формул розмірності (1.4.21), (1.4.22) і системи (1.4.17) матимуть вигляд

Таким чином, згідно з аналізом розмірностей і -теоремою залежність між може бути зображеною у вигляді залежності між критеріями

або ,

де функція залишається невизначеною.

У даному випадку висновки, що отримуються на основі -теореми, легко перевіряються. Якщо скласти й розв’язати відповідне диференціальне рівняння об’єкта, то знайдемо

,

або

.

4.3. МЕТОДИКА ЗНАХОДЖЕННЯ КРИТЕРІЇВ

ПОДІБНОСТІ ЗА ВІДСУТНОСТІ
МАТЕМАТИЧНОГО ОПИСАННЯ ОБ’ЄКТА

У загальному випадку методика знаходження критеріїв подібності на основі аналізу розмірностей і -теореми, коли математичне описання об’єкта невідоме, полягає в такому:

1. Установлюються всі фізичних величин:

,

що визначають стан або поведінку об’єкта, який розглядається.

2. Установлюються розмірності всіх визначальних величин у будь-якій системі одиниць виміру (як правило, у системі СІ).

3. Розмірності одних величин виражаються через розмірності інших:

.

У результаті встановлюється кількість величин, які мають незалежні розмірності, і кількість критеріїв подібності .

4. На основі складених формул розмірностей і згідно із системою (1.4.17) знаходять критерії подібності .

Приклад. Розглядається явище піднімання рідини всередині капілярної трубки, яка занурена в рідину.

1. Висоту підйому рідини визначають внутрішній радіус трубки , питома вага рідини і поверхневий натяг рідини.

Отже, визначальними фізичними величинами явища є . Їхня кількість .

2. Розмірності визначальних величин у системі СІ є такими:

.

3. Складаємо формули розмірностей:

. (1.4.23)

Звідси основними визначальними фізичними величинами є і , тому що вони мають незалежні розмірності. Залежними визначальними фізичними величинами є і – вони мають залежні розмірності.

4. На основі знайдених формул розмірностей (1.4.23) отримаємо два критерії подібності:

Таким чином, згідно з аналізом розмірностей і -теоремою залежність між може бути зображеною у вигляді

.

Функція , однак, залишається невизначеною.

Конкретний вираз для критеріїв подібності

у рівнянні визначається тим, які з визначальних величин вибираються за такі, що мають незалежні розмірності. Оскільки це може бути зроблено по-різному, то форма критеріїв подібності може бути різною. Однак кожна з цих форм завжди може бути перетвореною на будь-яку іншу.

Приклад. Якщо в попередньому прикладі за величини з незалежними розмірностями вибрати не і , а і , то на основі формул розмірностей

отримаємо інші критерії подібності:

Однак

або

.

Успіх цього методу знаходження критеріїв подібності залежить від того, наскільки правильно встановлені величини, які визначають об’єктдослідження. Якщо деякі величини пропущено або вони є зайвими, то тип і кількість критеріїв подібності буде встановлено невірно.

У складних випадках, коли кількість визначальних величин є великою, найпростіший – евристичний – спосіб складання формул розмірностей для величин із залежними розмірностями і знаходження за ними критеріїв подібності є незручним і може призвести до суттєвих помилок.

Найпоширеніший метод формального характеру – це метод, який потребує складання й розв’язання деякої системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Цей метод вивчається у більш загальних курсах лекцій з математичного моделювання.

Найзручнішим для практичного застосування є методвилучення розмірностей. Він полягає в поступовому вилученні із системи формул розмірностей визначальних величин

усіх символів розмірностей основних визначальних величин з одночасним зменшенням кількості формул з до . У міру зменшення кількості формул їх праві частини спрощуються, а в лівих частинах формуються все складніші степеневі комплекси з визначальних величин. Поява, унаслідок виключення чергового символу , рівності, що містить у правій частині одиницю, означає, що в лівій її частині сформовано безрозмірний степеневий комплекс – критерій подібності. Порядок виключення символів розмірностей не має значення.

Приклад. Перехідний процес в електричному контурі, який складається з резистора, конденсатора й дроселя, при вмиканні синусоїдної напруги визначають сім величин: струм , амплітуда напруження , опір , ємність , індуктивність , час і частота . Отже, . Випишемо формули розмірностей усіх семи визначальних величин у системі СІ:

Виключимо з формул розмірностей символ – розмірність часу . Для цього поставимо собі питання: на скільки треба помножити , щоб добуток у формулі розмірностей не містив символу розмірності часу ? Ураховуючи, що формула розмірності для містить у степені (-3), отримаємо, що слід помножити на , тоді не буде містити в правій частині символ – розмірність часу . Отже, . Зробимо те саме з усіма іншими формулами розмірностей. Отримаємо