Методика выполнения работы

По территориям региона приводятся данные за 199X г. (табл. 2.1).

Таблица 2.1

Данные по регионам

1. Для определения степени тесноты связи обычно используют линейный коэффициент корреляции:

,

(2.12)

где – ковариация признаков; , . Здесь , – выборочные дисперсии переменных x и y.

Соответствующие средние значения определяются по формулам:

	, ,	(2.13)
	,	(2.14)
	, .	(2.15)

Дисперсию также можно рассчитать по формуле

.

(2.16)

Для расчета коэффициента корреляции (2.12) строим расчетную таблицу (рис. 2.2).

По данным таблицы находим:

, ;

, ;

, ;

, ;

, .

Рис. 2.2. Результаты расчета текущих значений

Последние три столбца таблицы заполняются после получения уравнения регрессии!!!

Таким образом, между заработной платой (y) и среднедушевым прожиточным минимумом (x) существует прямая достаточно сильная корреляционная зависимость.

Для оценки статистической значимости коэффициента корреляции рассчитывают двухсторонний t-критерий Стьюдента:

,

(2.17)

который имеет распределение Стьюдента с k = n –2 и уровнем значимости a (приложение 1).

Значения Т _крит можно получить в Excel с помощью функции

СТЬЮДРАСПОБР(вероятность; степени_свободы).

В нашем случае

и .

Поскольку Т _набл > Т _крит, то коэффициент корреляции существенно отличается от нуля.

Таким образом, между переменными x и y имеет существенная корреляционная зависимость. Будем считать, что эта зависимость является линейной. Модель парной линейной регрессии имеет вид

где y – зависимая переменная (результативный признак); x – независимая (объясняющая) переменная; e – случайные отклонения, b₀ и b₁ – параметры уравнение регрессии.

2. По выборке ограниченного объема можно построить эмпирическое уравнение регрессии:

,

(2.19)

где b ₀ и b ₁ – эмпирические коэффициенты регрессии.

Для оценки параметров регрессии обычно используют метод наименьших квадратов (2.8).

Необходимым условием существования минимума функции двух переменных (2.8) является равенство нулю ее частных производных по неизвестным параметрам b ₀ и b ₁. В результате получаем систему нормальных уравнений:

,

(2.20)

Решая систему (2.20), найдем

	,	(2.21)
	.	(2.22)

По данным таблицы находим

;

.

Получено уравнение регрессии:

.

(2.23)

Величина параметра b ₁ показывает среднее изменение результата с изменением фактора на одну единицу. В рассматриваемом случае, с увеличением среднедушевого минимума на 1 руб. среднедневная заработная плата возрастает в среднем на 0, 92 руб.

По исходным данным также построен точечный график зависимости y(x) с выводом линейного уравнения тренда и коэффициентом R ² (рис. 2.3).

Рис. 2.3. Точечная диаграмма с выводом уравнения тренда и коэффициента R 2

Проверка адекватности моделей, построенных на основе уравнений регрессии, начинается с проверки статистической значимости каждого коэффициента регрессии. Для этого вычислим сначала стандартную ошибку регрессии

.

(2.24)

В нашем случае

Значимость коэффициентов регрессии осуществляется с помощью
t-критерия Стьюдента:

,

(2.25)

где – дисперсия коэффициента регрессии.

Для коэффициента b ₁ оценку дисперсии можно получить по формуле

.

(2.26)

В нашем случае

.

Следовательно,

.

Отметим, что для парной линейной регрессии t -критерий для коэффициента корреляции r_xy и коэффициента регрессии b ₁ совпадают.

Для коэффициента b ₀ оценку дисперсии можно получить по формуле:

.

(2.27)

Тогда

и .

Критическое значение критерия было уже найдено .
Поскольку и , то коэффициенты регрессии значимы отличаются от нуля.

Для проверки модели на адекватность также построим гистограмму распределения ее остатков. Сделаем это следующим образом. Составим диапазон изменения остатков, определим их минимальное и максимальное значения с помощью функций МАКС() и МИН(). Затем весь диапазон изменения остатков разобьем на 6-8 равных поддиапазонов и рассчитаем число попаданий ошибки (остатков) в каждый поддиапазон.

Все границы интервалов необходимо записать в отдельную строку или столбец (рис. 2.4).

Рис. 2.4. Результат нахождения минимального и максимального значений ошибки и карманов

Далее для построения гистограммы распределения остатков выбираем команду Данные ® Анализ данных (если этой опции не будет, необходимо выбрать в Другие команды… команду Надстройки... и в появившемся диалоговом окне выбрать Пакет анализа и нажать кнопку Перейти…, отметить флажком опцию Пакет анализа). В появившемся диалоговом окне Анализ данных выбираем опцию Гистограмма.

В диалоговом окне Гистограмма (рис. 2.5) в поле Входной интервал необходимо выбрать интервал, в котором находится диапазон ошибок (Н2: Н13), в поле Интервал карманов – диапазон значений отрезков поддиапазонов. Отметить флажком Вывод графика.

Рис. 2.5. Построение гистограммы распределения остатков модели

Результаты построения приведены на рис. 2.6. На автоматически построенном графике уберите Легенду и Боковые зазоры.

Рис. 2.6. Гистограмма распределения остатков

Для проверки модели на адекватность также построим график содержательного анализа остатков модели в зависимости от входной переменной Х. Для этого построим точечный график по диапазону ячеек в столбцах В2: В13 и Н2: Н13 (рис. 2.7).

Рис. 2.7. График содержательного анализа остатков модели

По полученным результатам сделайте выводы об адекватности построения модели экспериментальным данным.

Задачи регрессионного анализа можно решать с использованием ЭВМ. Например, в программе Excel достаточно ввести свои данные и использовать пакет Анализ данных. Опишем кратко последовательность действий:

а) проверьте доступ к пакету анализа. В главном меню последовательно выберите Сервис/Надстройки. Установите флажок Пакет анализа;

б) в главном меню выберите Сервис/Анализ данных/Регрессия. Щелкните по кнопке ОК;

в) заполните диалоговое окно ввода данных и параметров вывода:

- Входной интервал Y – диапазон, содержащий данные результативного признака;

- Входной интервал X – диапазон столбцов, содержащие значения факторов независимых признаков.

Результаты регрессионного анализа представлены на рисунке 2.4.

Сравните стандартную ошибку регрессии и Т -статистики коэффициентов с полученными значениями, показанными на рисунке 2.8!!!

3. Оценку качества построенной модели дает коэффициент детерминации.

Коэффициент детерминации для линейной модели равен квадрату коэффициента корреляции

.

Рис. 2.8. Результаты выполнения Анализа данных в Excel

Это означает, что 52% вариация заработной платы (y) объясняется вариацией фактора x – среднедушевого прожиточного минимума.

Значимость уравнения регрессии проверяется при помощи F-критерия Фишера, для линейной парной регрессии он будет иметь вид

,

(2.28)

где F подчиняется распределению Фишера с уровнем значимости a и степенями свободы k ₁= n –2 и k ₂=1 (приложение 1).

В нашем случае

.

Поскольку критическое значение критерия равно

и F _набл > F _крит, то признается статистическая значимость построенного уравнения регрессии. Отметим, что для линейной модели F - и t -критерии связаны равенством .

4. Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза.

Прогнозное значение y_p определяется путем подстановки в уравнение регрессии (2.23) соответствующего (прогнозного) значения х _p. В нашем случае прогнозное значение прожиточного минимума составит: руб., тогда прогнозное значение среднедневной заработной платы составит:

руб.

Средняя стандартная ошибка прогноза вычисляется по формуле

.

(2.29)

В нашем случае

руб.

Предельная ошибка прогноза, которая в 95% случаев не будет превышена, составит:

.

Доверительный интервал прогноза

руб.,

или

руб.

Выполненный прогноз среднемесячной заработной платы оказался надежным (p=0, 95), но неточным, т.к. относительная точность прогноза составила

.