![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Краткие теоретические сведения. При изучении явлений природы, решении многих задач физики и техники, химии и биологии можно установить связь между величинами (функциями) и скоростями их
При изучении явлений природы, решении многих задач физики и техники, химии и биологии можно установить связь между величинами (функциями) и скоростями их изменения относительно независимых переменных величин, то есть найти уравнения, в которых неизвестные функции входят под знак производной. Эти уравнения называют дифференциальными. Простейшим примером дифференциального уравнения первого порядка является уравнение
где f (x) – известная, а у = у (х) – искомая функции независимого переменного х. Для получения единственного решения указанного уравнения необходимо задать начальное условие Дифференциальные уравнения решаются аналитически или численно. Аналитические способы решения некоторых видов ОДУ рассмотрены в методических указаниях к практическим занятием настоящего курса, а также в [21]. Численные способы решения ОДУ рассмотрены, например в [22]. Здесь приведем простейший способ решения задачи Коши.
Для численного решения задачи 1 дифференциальные уравнения заменяются разностными. При
Из первого уравнения системы 2 получаем расчетный алгоритм
Следует помнить, что прежде чем решать задачу (1) численно, необходимо проверить существование и единственность решения этой задачи. Это можно сделать с помощью следующей теоремы. Теорема существования и единственности решения уравнения
с начальным условием Пусть в замкнутой области При этом можно взять Последовательные приближения, определяемые формулами Равномерно сводится к решению на указанном отрезке. Замечание. Для существования решения достаточно только непрерывности
|