Размещения.

Определение. Размещением из различных элементов по элементов называется упорядоченный набор каких-либо из этих элементов.

Два размещения из по считаются различными, если они различаются составом и/или порядком следования входящих в них элементов.

Пример. Все размещения из трех элементов — цифр 1, 2, 3 по два:

(1, 2); (2, 1); (1, 3); (3, 1); (2, 3); (3, 2).

Число размещений из по принято обозначать через . Последний пример показывает, что .

Теорема. Для числа размещений справедлива формула:

. (2)

Доказательство. При построении размещения из по первый член может быть выбран способами. Для выбора второго члена размещения остается способов, поскольку один элемент уже использован. Для выбора третьего члена остается способов, и т.д. Для последнего, -го члена размещения остается способов. По принципу умножения общее число различных размещений равно произведению: . ▄

Пример. .

Замечание. Если , то размещение из по является перестановкой из элементов. Обе формулы (1) и (2) дают в этом случае одинаковый результат: .

Пример. Количество четырехзначных чисел, все цифры которых различны и не равны нулю, есть количество размещений из девяти элементов — цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 по четыре элемента: .