Основные источники погрешностей

Источники и классификация погрешностей

Численные методы относятся к основным методам решения задач математики и различных ее приложений.

Численные методы называются точными, если он дает принципиальную возможность после выполнения конечного числа операций над точными числами получить точное решение задачи.

Для большинства реальных задач точных методов решения вообще не существует или если они есть, то связаны с бесконечными вычислениями, поэтому основным инструментом вычислительной математики являются приближенные численные методы, приводящие обычно к приближенным результатам, даже при точных исходных данных и точных вычислениях.

Основные источники погрешностей

1. замена реальной задачи математической моделью

2. Затруднения в определении точных исходных данных (исследования космических тел)

3. Применение приближенных действий (вычислительные погрешности)

4. Арифметические действия над приближенными числами

5. Округление чисел

6. Ограниченность разрядной сетки вычислительных устройств.

Т.к. приближенные результаты решения задач бесполезны без информации о степени их точности, то в процессе вычислений обязательно следует вести учет погрешностей.

Пусть а – точное значение некоторой величины, - известное приближение к нему, тогда абсолютной погрешностью приближения, называется величина () | - а |. По абсолютной погрешности нельзя в полной мере судить о точности измерений или вычислений. Качество приближения характеризуется величиной относительной погрешности.

Относительной погрешностью называется величина () равная отношению абсолютной погрешности приближения к модулю этого приближения. ()=| ( -a)/ | или ()= ()/| |

Относительную погрешность часто выражают в %, для чего полученный результат умножают на 100%

Значащими цифрами числа называют все цифры в его записи начиная с первой не нулевой слева. Значащую цифру называют верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы разряда соответствующего этой цифре () в противном случае цифра называется сомнительной. Если все значащие цифры верные, то говорят, что число записано со всеми верными цифрами.

Правило:

В записи абсолютной погрешности обычно оставляют одну значащую цифру, при этом округление всегда производится с избытком.

Правило округления чисел:

Чтобы округлить число до n значащих цифр отбрасывают все его цифры стоящие справа от n-ой значащей цифры или если это нужно для сохранения разрядов заменяют их нулями. При этом: 1. Если первая отбрасываема цифра меньше 5, то все сохраняемых цифры остаются без изменения 2. Если первая отбрасываемая цифра больше или равна 5, но среди отбрасываемых цифр есть не нулевые, то к последней сохраняемой цифре прибавляется единица. 3. Если первая отбрасываемая цифра равна 5 и все остальные отбрасываемые цифры нули, то последняя сохраняемая цифра остается неизменной, если она четная, и увеличивается на единицу, если она нечетная.

За абсолютную погрешность приближенного числа с известными верными цифрами принимается половина единицы того разряда, где находится последняя верная цифра. =0, 05

2. Постановка задачи приближённого решения алгебраических уравнен

Уравнения вида Р_п (х) = 0, где Р_п (х) - многочлен n-ой степени одной переменной, называются алгебраическими уравнениями. Уравнения, содержащие трансцендентные функции, такие, как логарифмическая, показательная или тригонометрическая функция, называются трансцендентными. Рассмотрим способы решения нелинейных уравнений с одним неизвестным. Каждое такое уравнение можно представить в виде f(x) = 0. (1)

Область определения D(J) функции f называем также областью определения уравнения

Число t называется корнем уравнения (1) или нулем функции f, если при подстановке его вместо х уравнение превращается в верное равенство. Решить уравнение — это значит найти множество всех его корней. Корень называется изолированным, если существует такой непустой интервал, в котором этот корень единственный. Процесс приближенного решения уравнений распадается на два этапа: 1) отделение корней; 2) уточнение корней. Корень t отделен на отрезке [a; b] D(f), если t (а; b) и других корней в этом отрезке нет. При этом [а; b] называем отрезком изоляции корня t. Поиск приближенного значения корня с точностью до заданного достаточно малого числа ε > О называется уточнением этого корня, Следовательно, задача уточнения будет решена, если найдется число х такое, что |t-x| . Тогда t х с точностью до ε.

Отделение корней обычно производится графически и (или) аналитически. Графический способ отделения корней уравнения (1) заключается в поиске таких отрезков [а; b] внутри которых находится абсцисса точки пересечения графика функции у=f(x) с осью Ох, т. е. нуль функции f. Часто для упрощения построений уравнение f(x)=0 заменяют на равносильное ему уравнение f(x) = g(x). Тогда строят графики функций f(x) и g(x), а потом на оси Ох отмечают по возможности наименьшие отрезки, содержащие абсциссы точек пересечения этих графиков. Например: Графически отделить корни уравнения x*lgx=1 (2) Уравнение (2) удобно переписать в виде равенства: Igx =1/x. Отсюда ясно, что корни уравнения (2) могут быть найдены как абсциссы точек пересечения логарифмической кривой y= lg х и гиперболы у = 1/x. Построив эти кривые, приближенно найдем единственный корень ε уравнения (2) или определим его отрезок изоляции [2, 3].

Результаты графического метода необходимо проверять и уточнять.

Аналитический способ основан на следующих утверждениях: Теорема. Пусть функция f определена и непрерывна на отрезке [а; b], причем на комках его принимает значения разных знаков, т.е. f(а)*f(b) 0, Тогда существует по крайней мере одна точкаt t (a; b), в которой значение функции равно нулю, т.е. t — корень уравнения. Если выполняются условия теоремы 1 и при этом функция f(х) - монотонна, то корень t - единственный на отрезке [а; b] Корнями уравнения могут также быть точки максимума и минимума функции f(х). Для их отделения достаточно найти критические точки функции f(x) и вычислить её значения в найденных точках: если получится нуль, то корень уравнения найден.