![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Метод Рунге - Кутта.
Основная идея метода: В рабочих формулах нужно использовать саму функцию f(x; y) и на каждом шаге вычислять её значения в нескольких точках. Пусть дано диф. ур-ие
Формы метода Рунге-Кута 2-го порядка. Чем выше порядок формул Рунге-Кута, тем более точное значение они дают. Наиболее распространёнными являются формулы 4-го порядка.
Пусть при решении диф. ур-ия строится таблица с шагом h и аргументами Для тех же аргументов находят улучшенные приближения Для модификации метода Эйлера: 23.Методы минимизации функции одной переменной: метод Фибоначчи, метод золотого сечения. Одно из важнейших направлений в проектировании и эксплуатации технологических процессов состоит в оптимизации (минимизации или максимизации) некоторой характеристики f(x). Функцию f(x) называют целевой функцией. Основное внимание уделяют минимизации целевой функции, так как максимизация сводится к минимизации с помощью введения новой целевой функции z(x) = - f(x). В случае, когда изменяется один скалярный параметр х, возникает задача одномерной минимизации, то есть f(x) — действительная функция одной переменной, определенная на множестве R. Существуют различные постановки задачи минимизации: - найти все точки локального минимума и отвечающие им значения функции; - вычислить конкретную точку локального минимума или точку глобального минимума; - найти минимальное значение целевой функции, независимо от того, в какой именно точке оно достигается. Для того чтобы применить один из алгоритмов минимизации, следует предварительно найти отрезок [а, b], содержащий точку х* на котором она является единственной точкой локального минимума. Этот отрезок называется отрезком локализации точки х*. Пусть f(x) — функция, определенная на отрезке [а, b]. Предположим, что на этом отрезке содержится единственная точка х* локального минимума функции f(x), причем функция строго убывает при х Ряд методов минимизации основан на сравнении значений функции f в точках x1 х2, …, xn. Эти методы называются методами прямого поиска, а точки х, - пробными точками. Пусть требуется найти приближение х * к точке минимума х* функции f, унимодальной на отрезке [а, b]. число пробных точек п заранее фиксируется и за приближение х* к точке минимума принимается одна из этих точек. Метод деления отрезка пополам требует на каждой итерации вычисления двух новых значений функции. Наблюдения приводят к методам, требующим на каждой итерации (кроме первой) расчета лишь одного нового значения функции. Два наиболее известных среди них — методы Фибоначчи и золотого сечения. Метод Фибоначчи. Метод Фибоначчи является оптимальным последовательным методом, т. е. методом, обеспечивающим максимальное сокращение отрезка локализации при заданном числе N вычислений функции. Этот метод основан на использовании чисел Фибоначчи F„, задаваемых рекуррентной формулой Fn = Fn-1 + Fn-2 (п Метод золотого сечения. Из-за недостатков вместо метода Фибоначчи чаще используется почти столь же эффективный метод золотого сечения. Золотым сечением отрезка называется такое разбиение отрезка на две неравные части, что отношение длины всего отрезка к длине его большей части равно отношению длины большей части к длине меньшей части отрезка. Золотое сечение отрезка [а, b] осуществляется каждой из двух симметрично расположенных относительно центра отрезка точек
Точка а осуществляет золотое сечение не только отрезка [а, b], но и отрезка [а, β ], Точно так же точка β осуществляет золотое сечение не только отрезка [а, b], но и отрезка [а, b]. Этот факт используется в данном методе.
24.Методы минимизации функции одной переменной: оптимальный пассивный поиск, метод деления отрезка пополам. Одно из важнейших направлений в проектировании и эксплуатации технологических процессов состоит в оптимизации (минимизации или максимизации) некоторой характеристики f(x). Функцию f(x) называют целевой функцией. Основное внимание уделяют минимизации целевой функции, так как максимизация сводится к минимизации с помощью введения новой целевой функции z(x) = - f(x). В случае, когда изменяется один скалярный параметр х, возникает задача одномерной минимизации, то есть f(x) — действительная функция одной переменной, определенная на множестве R. Существуют различные постановки задачи минимизации: - найти все точки локального минимума и отвечающие им значения функции; - вычислить конкретную точку локального минимума или точку глобального минимума; - найти минимальное значение целевой функции, независимо от того, в какой именно точке оно достигается. Для того чтобы применить один из алгоритмов минимизации, следует предварительно найти отрезок [а, b], содержащий точку х* на котором она является единственной точкой локального минимума. Этот отрезок называется отрезком локализации точки х* Пусть f(x) — функция, определенная на отрезке [а, b]. Предположим, что на этом отрезке содержится единственная точка х* локального минимума функции f(x), причем функция строго убывает при х < х* и строго возрастает при х > х*. Такая функция называется унимодальной. Ряд методов минимизации основан на сравнении значений функции/ в точках х1 х2, ..., хп. Эти методы называются методами прямого поиска, а точки хi - пробными точками.
Оптимальный пассивный поиск. Метод, в котором задается правило вычисления сразу всех
Если точки х1 х2, ..., хп расположить на отрезке [а, b] равномерно в соответствии с формулой
Метод деления отрезка пополам. Пусть для решения поставленной задачи последовательно вычисляются значения функции f в n пробных точках х1 х2, ..., хп причем для определения каждой из точек xk можно использовать информацию о значениях функции во всех предыдущих точках xh х2.......................................... xk-1. Соответствующие методы называют методами последовательного поиска. Простейший из методов этого семейства — метод деления отрезка пополам. В нем используется принцип последовательного сокращения отрезка локализации. Оценить погрешность можно по формуле:
параметр метода. Вычисления с точностью до заданного е> 0 прекращают, как только выполнится неравенство
|