Тура Фурье түрлендіруі

Фурье қ атары - [а, b] кесіндісінде ортонормаланғ ан φ ₁(х), φ ₂(х),..., φ _n(х),... функциялар жү йесі бойынша f(x) функциясының Фурье қ атары деп қ атарынайтады. Мұ ндағ ы с_k Фурье коэффициенттері:

1, cosnx, sinnx, n=1, 2,..., тригонометриялық жү йесіндегі Фурье қ атары:

,

мұ ндағ ы a₀, a_k, b_k - Фурье коэффициенттері.^[1]

Кү рделі(периодты емес, периодты) сигналдарды ə ртү рлі жиіліктегі

гармониялық тербелістердің (синусоидалық, косинусоидалық) жиыны

ретінде қ арастыруғ а болады. Бұ л мақ сатта Фурьенің тура тү рлендіруі

қ олданылады:

Фурьенің кері тү рлендірулері мынадай:

19. Кері Фурье тү рлендіруі. S(t) синалын қ арастырсақ. S(t) ү шін бірнеше интегралдық тең деу жазуғ а болады.

· Тура Фурье тү рлендіруі:

(1)

· Кері Фурье тү рлендіруі:

(2)

функциясын фурье-образды, функциясының спектрлі функциясы, спектрлі тығ ыздығ ы деп атайды. Фурьенің кері тү рлендіруі функциясын оның Фурье-образы бойынша қ айта қ алпына келтіруге мү мкіндік береді.

Кері тү рлендіру тең деуіне комплексті амплитудасы болатын гармоникалық тербелістің шекті суммасы ретінде (2) интегралды қ арастыра отырып келуге болады. кезінде бө лек гармоникалардың комплексті амплитудасы шексіз кіші бола бастайды, бірақ жиіліктің осі бойынша таралуы ( шамасы) шекті болып табылады. Гармоникалық тербелістер жиілігі жиіліктің барлық осін ү здіксіз тү рде толтырады, сондық тан (2) тең деу жиілік спектрі ү зіліссіз гармоникалық тербелістер жиынында тербелісіне ажырауғ а мү мкіндік береді.

интеграл бар болады, егер функциясы барлық остерде абсолютті интегралданғ ан болса. Бұ л мынаны береді.

(3)

Кө бінесе бұ л ү шін кезінде болуы керек. Фурье интегралдарының теориясынан белгілі: егер функциясы абсолютті интегралданғ ан болса ((3)шартты қ анағ атандырса) жә не сонымен қ атар Дирихле шартын ә р шекті интервалда қ анағ аттандырса, онда интеграл Фурьенің кері тү рлендіру тең деуінде (2) функциясының барлық ү здіксіз нү ктелерінің жә не ажырау нү ктелерінің жоғ арғ ы жә не тө менгі шектерінің жарты суммасының негізгі мә німен сә йкестенеді. Бұ л тө мендегіні білдіреді:

20. Амплитудалық спектр – A_k=A(kω ₀) немесе сигнал гармоникаларының амплитудасының гармоника номіріне немесе жиілікке тә уелділігі. Амплитудалық спектр арқ ашан жұ п функцияболады.

Фазалық спектр - сигнал гармоникаларының бастапқ ы фазаларының гармоника номіріне немесе жиілікке тә уелділігі. Фазалық спектр тақ функция болады.

Гармоника дегеніміз- сызық ты жү йелердің ө здік функциялары.

Спектрлер сигналды толығ ымен сипаттайды.

1- сурет. Амплитудалық спектрдің жалпы кө рінісі. k ө спелі болғ ан жағ дайда X_k → 0 гармоника амплитудасы

Жиілік пен гармоника былай байланысқ ан:

немесе

2- сурет. Фазалық спектр (екі жақ ты фазалық спектр).