Феррорезонанс в цепи с последовательно соединенными L и С.

Если рассматривается линейная цепь, то условие резонанса , при этом резонансная частота . При резонансе характеристики катушки и конденсатора совпадают, но имеют противоположные фазы.

В линейных цепях резонанс может наступить при любом напряжении цепи, главное, чтобы выполнялось условие: .

В нелинейных цепях ситуация другая. Рассмотрим такую цепь.

Допущения:

· В цепи отсутствуют потери (R=0)

· Отсутствуют высшие гармоники.

Из-за ферромагнитного сердечника кривая тока искажается, т.е. в реальном случае появляются высшие гармоники, которыми мы пренебрегаем, т.е. реальные несинусоиды можно заменить на эквивалентные.

Заменим на sin первых гармоник, тогда напряжения на и катушке и конденсаторе будут в противофазе.

Напряжение на зажимах цепи:

(8)

Предположим, что характеристики L и С известны.

Построим U=f(i). Из кривой U_L вычтем кривую U_C. А – точка резонанса напряжений. Согласно (21.1) U> 0

1) U^* соответствует максимуму кривой U = f(i).

2) Если рабочее напряжение цепи лежит в диапазоне от 0 до U^*, оно может вызывать три рабочих режима цепи, характеризующимися разными значениями тока. Причем при I₃ характер цепи емкостной, при I₁ и I₂ – индуктивный.

В отличие от линейных цепей резонанса в этой цепи можно достичь не только подбором L и С, но и изменением напряжения цепи. Так как при изменении напряжения цепи меняется ток цепи, а индуктивность зависит от этого тока, т.е. меняя напряжение, меняем ток, меняем индуктивность и достигаем условия резонанса X_L = X_C.

На практике (при наличии R и высших гармоник) характеристика цепи:

Вид этой кривой приводит к появлению релейного эффекта. Его суть: допустим, имеем цепь с активным сопротивлением и начинаем плавно повышать напряжение на входе (участок 0-а). В точке а происходит срыв в точку б, которая сопровождается скачком тока. Если затем из точки б начать понижать напряжение (б-в), то в точке в – очередной срыв из точки в в точку г – очередной скачок тока. При скачках меняется характер цепи (а-б с индуктивного на емкостной, в-г с емкостного на индуктивный). Участок а-в является участком неустойчивых режимов. Пусть U’’ = const. режим соответствующий точке В. Тогда всякое случайное увеличение тока приведет к уменьшению напряжения в цепи, которое привет к дальнейшему увеличению тока и т.д. Это лавинообразное изменение тока будет до тех пор пока не дойдет до зоны устойчивых режимов (вб) точка К. Если произойдет случайное уменьшение тока, все будет по аналогии до тех пор, пока не дойдет до зоны устойчивых режимов (а-г) точка N.

Все устойчивые режимы лежат на восходящих участках кривой. Производная наклона больше нуля.

Если устройство спроектировано так, что приходится работать на участке а-в, то можно получить устойчивый режим включив в цепь большое сопротивление.

Найдем величину максимального тока при этом феррорезонансе. Предположим, что характеристики L и C даны, с помощью Matlab получаем по заданной характеристике катушки ее аналитическую формулу.

Предположим, что ток синусоидален

(9)

Не будем учитывать высшие гармоники.

Тогда первая гармоника напряжения на L:

Найдем первую гармонику напряжения на C:

Затем учтем резонанс

Подставляем в это уравнение U_L1, U_C1 и выражаем амплитудное значение тока.

На напряжениях L и C учитываем только одну характеристику.

Проанализируем полученное выражение для амплитуды тока.

Максимальное значение тока при данном феррорезонансе линейно зависит от частоты приложенного напряжения и нелинейно от величины C.

На основе явления феррорезонанса (ФР) были созданы стабилизаторы напряжения, в которых нагрузка присоединялась к катушке.

Из-за ФР изменение внешнего напряжения U₁ (в определенных пределах) не приводит (практически) к уменьшению напряжения на нагрузке U_2­­.

Такого резонанса можно достичь и в цепи с последовательно соединёнными линейной катушкой и нелинейным конденсатором. (Нелинейный конденсатор вместо диэлектрика содержит сегнетоэлектрик)