Теоретические сведения. К численному интегрированию обращаются, когда нельзя через элементарные функции аналитически записать первообразную интеграла

К численному интегрированию обращаются, когда нельзя через элементарные функции аналитически записать первообразную интеграла

, (1)

или, когда подобная запись имеет сложный вид.

Сущность большинства методов вычисления определенных интегралов состоит в замене подынтегральной функции f(х) аппроксимирующей функцией φ (х), для которой можно легко записать первообразную в элементарных функциях, т. е.

, (2)

где

S - приближенное значение интеграла;

R - погрешность вычисления интеграла.

Используемые на практике методы численного интегрирования можно сгруппировать в зависимости от способа аппроксимации подынтегральной функции. Дадим краткую характеристику групп наиболее распространенных методов.

Методы Ньютона-Котеса основаны на полиномиальной аппроксимации подынтегральной функции. Алгоритмы методов просты и легко поддаются программной реализации.

Сплайновые методы базируются на аппроксимации подынтегральной функции сплайнами, представляющими собой кусочный полином. Методы различаются по типу выбранных сплайнов.

В методах наивысшей алгебраической точности используют неравноотстоящие узлы, расположенные по алгоритму, обеспечивающему минимальную погрешность интегрирования для наиболее сложных функций при заданном количестве узлов.

В методах Монте-Карло узлы выбираются с помощью датчика случайных чисел, ответ носит вероятностный характер. Методы оказываются эффек­тивными при вычислении большой кратности.

В класс специальных группируются методы, алгоритмы которых разра­батываются на основе учета особенностей конкретных подынтегральных функций.

Независимо от выбранного метода в процессе численного интегрирования необходимо вычислить приближенное значение интеграла (1) и оценить погрешность R. Погрешность будет уменьшаться при увеличении количества разбиений n интервала интегрирования [а, b] за счет более точной аппроксимации подынтегральной функции, однако при этом будет возрастать погрешность за счет суммирования частичных интегралов, и последняя погрешность с некоторого значения n₀ становится преобла­дающей. Это обстоятельство должно предостеречь от выбора чрезмерно большого числа n и привести к необходимости разработки способа оценки погрешности R выбранного метод интегрирования.

Методы прямоугольников. Рассмотрим сначала простейшие методы из класса методов Ньютона-Котеса, когда подынтегральную функцию f(x) на интервале интегрирования заменяем полиномом нулевой степени. Подобная замена является неоднозначной, так как константу можно выбрать равной значению подынтегральной функции в любой точке в интервале интегрирования. Приближенное значение интеграла определится как площадь прямоугольника, одна из сторон которого есть длина отрезка интегрирования, а другая - аппроксимирующая константа.

Рис. 1. Метод левых прямоугольников. Рис.2. Метод правых прямоугольников

Методы левых (рис. 1) и правых прямоугольников (рис. 2) имеют сравнительно высокую погрешность. Запишем выражение для интеграла на интервале [х_i, х_i+ h], полученное методом средних прямоугольников

(3)

где , R = , и оценим погрешность R. Для этого разложим подынтегральную функцию f(х) в ряд Тейлора около средней точки

(4)

в малой окрестности точки х этот ряд с высокой точностью представляет функцию f(x) при небольшом количестве членов разложения. Поэтому, подставляя под интеграл вместо функции f(x) ее тейлоровское разложение (4) и интегрируя его почленно, можно вычислить интеграл с любой наперед заданной точностью

(5)

Сравнивая соотношения (3) и (5), можно записать выражение для погрешности R. При малой величине шага интегрирования h основной вклад в погрешность R будет вносить первое слагаемое, которое называется главным членом погрешности R_oi вычисления интеграла на интервале [x_i, x_i+1]

Главный член полной погрешности для интеграла на всем интервале [х₀, х_n] определится путем суммирования погрешностей на каждом частич­ном интервале [x_i, x_i+1]

(6)

Формула (6) представляет собой теоретическую оценку погрешности вычисления интеграла методом средних прямоугольников, эта оценка является априорной, так как не требует знания значения вычисляемого интеграла. Степень шага h, которой пропорциональна величина , называется порядком метода интегрирования. Метод средних прямоугольников имеет второй порядок.

Аналогично проведем априорную оценку метода левых прямоугольников. Разложим подынтегральную функцию в ряд Тейлора около точки х= ,

(7)

Интегрируя разложение (7) почленно на интервале [x_i, x_i+1], получим

где первое слагаемое есть приближенное значение интеграла, вычисленное по методу левых прямоугольников, второе слагаемое является главным членом погрешности

(8)

На интервале [х₀, х_n] главный член погрешности интегрирования полу­чим суммированием частичных погрешностей (8)

(9)

Таким образом, метод левых прямоугольников имеет первый порядок; кроме того, погрешность будет больше по сравнению с методом средних прямоугольников.

Метод трапеций. Подынтегральную функцию заменим на участке [x_i, x_i+h] полиномом первой степени Р₁(х) (рис. 3). Как и в методах прямоугольников, такая аппроксимация неоднозначна.

Рис.3. Метод трапеций.

В этом случае приближенное значение интеграла определяется площадью трапеции

Априорную погрешность R метода трапеций получим путем интегрирования тейлоровского разложения подынтегральной функции около точки :

(10)

С помощью разложения вычислим подынтегральную функцию в точке x_i + h

откуда

(11)

Подставляя произведение (11) в выражение (10), получим

Следовательно, главный член погрешности метода трапеций на одном интервале будет

(12)

Если интегрирование проводится путем разбиения отрезка [х₀, х_n] на несколько интервалов, то общую погрешность получим суммированием частичных погрешностей (12)

Метод трапеций, как и метод средних прямоугольников, имеет второй порядок. Если подынтегральная функция задана аналитически, то предпочтительнее из методов второго порядка применять метод средних прямоугольников.

Метод Симпсона. Подынтегральную функцию f(x) заменим интерполяционным полиномом второй степени Р₂(х), проходящим через узлы х₀, х₁, х₂ (рис.5), тогда

,

где R - погрешность вычисления интеграла.

э

Рис. 4. Метод Симпсона.

Для записи полинома Р₂(х) воспользуемся интерполяционной формулой Ньютона для трех узлов

, (13)

где

- разделенные разности,

h - расстояние между узлами.

Введем новую переменную , тогда и полином (13) принимает вид

.

Теперь вычислим интеграл от полинома (14)

. (14)

Последнее соотношение называют квадратурной формулой Симпсона, или формулой парабол.

Формулу Симпсона можно получить и с помощью первой и второй формул Рунге, примененных к вычислению интеграла методом трапеций. Запишем два приближенных значения интеграла от функции f(x) на интервале [х_о, х₂] с шагами h и 2h по формуле трапеций.

,

Получим уточненное значение интеграла

,

которое совпадает с формулой Симпсона (14).

Для оценки погрешности формулы Симпсона разложим подынтегральную функцию f(x) в ряд Тейлора около точки х_i и проинтегрируем разложение почленно в интервале [х_о, х₂].

Суммируя разложения около точки х₁ для функции f(x) в узлах x₀ и x₂, получим, что

,

тогда

(15)

Первое слагаемое в правой части формулы (15) совпадает с формулой Симпсона, значит, второе слагаемое является главным членом погрешности для интеграла на интервале [х_о, х₂]

Полная погрешность запишется в виде

Следовательно, формула Симпсона имеет четвертый порядок точности с очень малым численным коэффициентом в остаточном члене. Формула Симпсона позволяет получить высокую точность, если четвертая производная подынтегральной функции не слишком велика. В противном случае методы второго порядка могут дать большую точность, чем метод Симпсона.

Апостериорные оценки погрешностей по Рунге и Эйткену. Априорные оценки погрешностей можно записать в виде

R_o = Ah^p, (16)

где А - коэффициент, зависящий от метода интегрирования и вида подын­тегральной функции;

h - шаг интегрирования;

р - порядок метода.

Зависимости (16) подчиняется главный член погрешности большинства методов численного интегрирования. Пусть вычисляется значение некоторой переменной w с шагом h, тогда

(17)

где w_h - приближенное значение w;

Ah^p - главный член погрешности;

O(h^p+1) - бесконечно малая величина порядка h^{p + 1}.

Вычислим ту же самую переменную w с шагом kh

(18)

где коэффициент пропорциональности k может быть как больше, так и меньше единицы. Коэффициент А в выражениях (17) и (18) будет одинаковым, так как вычисляется одна и та же переменная, одним и тем же методом, а от величины шага h значение А не зависит.

Пренебрегая бесконечно малыми величинами, приравняем правые части соотношений (17) и (18) с учетом формулы (16) и получим w_h + R₀ = W_kh, + k^pR₀ откуда найдем главный член погрешности

(19)

Формула (19) называется первой формулой Рунге и позволяет путем двойного просчета величины w с шагами k и kh оценить погрешность. Так как оценка осуществляется после вычисления, то она является апостериорной.

Формулы Рунге справедливы для всех вычислительных процессов, для которых выполняется степенной закон (16). Для определения порядка метода р необходимо проведение априорной оценки погрешности, что не всегда легко осуществить.

Английский математик Эйткен предложил способ оценки погрешности для случая, когда порядок р метода неизвестен. Порядок р можно определить по формуле,

,

где - значение величины w с шагом k²h.

№	Название метода	Формула	Порядок метода	Априорная погрешность вычислений	Апостериорная погрешность вычислений
	Левых прямоугольников (рис.1)		h
	Правых прямоугольников (рис.2)		h
	Средних прямоугольников		h2
	Трапеций (рис.3)		h2
	Симпсона (рис.4)		h4