Пример применения численного интегрирования.

Вычислим, например, интеграл по формуле Симпсона с точностью до 0, 001.

Чтобы выбрать необходимое для получения заданной точности число 2n, найдем f⁽⁴⁾(x). Последовательно дифференцируя функцию f(x)= , получаем

f⁽⁴⁾(x)=4 (4х⁴-12х²+3)

Так как на отрезке [0, 1] £ 1, ½ 4х⁴-12х²+3½ £ 5, то . Следовательно, можно взять М=20. Используя формулу оценки погрешности, имеем 20/2880n⁴< 1/1000(), откуда n⁴ > 1000/144. Для того чтобы выполнялось это неравенство, достаточно взять n=2, т.е. 2n=4.

Разобьем теперь отрезок [0, 1] на четыре равные части точками х₀=0, х₁=1/4, х₂=1/2, х₃=3/4, х₄=1 и вычислим приближенно значения функции f(x)= в этих точках у₀=1, 0000, у₁=0, 9394, у₂=0, 7788, у₃=0, 5698, у₄=0, 3679. Применяя формулу Симпсона, получаем

Таким образом, с точностью до 0, 001. Итак, разбив отрезок [0, 1] всего на четыре равные части и заменив рассматриваемый интеграл суммой, стоящей в правой части формулы Симпсона, мы вычислили данный интеграл с необходимой точностью.