Теоретические сведения. Формула Чебышева для вычисления определенного интеграла

Формула Чебышева для вычисления определенного интеграла.

Вид формулы:

Задача формулы Чебышева:

1. Подобрать константы , чтобы они были постоянные.

2. Формула должна быть точной для полинома степени включительно.

Для того, чтобы узлы квадратурной формулы не зависели от пределов интегрирования a и b, перейдём к стандартным пределам интегрирования:

,

надо найти так, чтобы формула была точна для , , … .

Чебышев показал, что решение этой системы сводится к нахождению корней некоторого алгебраического уравнения степени . Доказано, что при и система не имеет действительных корней.

n	i
	1; 2
	1; 3
	1; 4 2; 3
	1; 5 2; 4
	1; 6 2; 5 3; 4
	1; 7 2; 6 3; 5

Переход от пределов интегрирования [-1; 1] к пределам [a; b]:

Формула Чебышева для произвольного интервала:

Квадратурная формула Гаусса. Рассмотрим полином Лежандра:

,

Свойства полинома Лежандра:

1.

2. -многочлен степени

3. Полином Лежандра имеет ровно различных действительных корней на отрезке [-1; 1].

Рассмотрим функцию на интервале [-1; 1].

Задача формулы Гаусса: найти точки и коэффициенты

(), чтобы квадратурная формула была точна для полиномов наивысшей возможной степени . Т.к. постоянных имеется , то наивысшая возможная степень полинома - .

Система нелинейная, её решение трудное и поэтому применяется искусственный приём для и .

Рассмотрим полином: , , где -полином Лежандра. Общая степень будет справедлива формула: (по свойству ортогональности). Это равенство справедливо для любых , если . В качестве нужно взять нули полинома Лежандра.

Вернёмся к изначальной системе. Теперь она линейная, т.к. - это нули.

Система имеет определитель Вандермонда; при определитель Вандермонда коэффициенты определяются неоднозначно.

Переход от пределов интегрирования [-1; 1] к пределам [a; b]:

Формула Гаусса для произвольного интервала:

n	i
	1; 3		5/9 8/9
	1; 4 2; 3
	1; 5 2; 4

Погрешность.

, для интервала [a; b].

Точность квадратурной формулы при фиксированном числе узлов существенно зависит от расположения этих узлов.