Теоретические сведения.

Интегральными уравнениями называют уравнения, в которых неизвестная функция входит под знак интеграла. В общем случае интегральное уравнение имеет вид

(1)

Здесь x — независимая переменная, — искомая функция, — ядро интегрального уравнения, — правая часть уравнения, s — переменная интегрирования.

Область изменения переменных а ≤ x, s ≤ b в уравнении 2-го

рода называется основным квадратом. В уравнениях 1-го рода области изменения переменных x и s могут, вообще говоря, не совпадать.

Интервал [а, b] может быть и бесконечным, так что значения

а = - ∞ и/или b = ∞ не исключаются. Если же оба числа a, b конечны, то без ограничения общности можно положить а = 0, b = 1.

В таком случае уравнение (1) называют уравнением Урысона:

К интегральным уравнениям приводят многие инженерные задачи (в радиотехнике, газовой динамике, квантовой механике и
т. п.). Интегральная форма уравнений движения в виде законов сохранения используется также и при построении консервативных разностных схем для некоторых типов задач (в частности, в механике сплошной среды).

В отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений для

решения уравнения не требуется задавать дополнительные условия, а именно, значения неизвестной функции и/или ее производных в некоторых точках. Это обстоятельство очень важно, особенно в приложениях.

Таким образом, интегральное уравнение содержит полную постановку задачи, и дополнительные условия (начальные или граничные) для него задавать не нужно.

Отметим еще одно преимущество интегральных уравнений. Уравнение записано для случая одной независимой переменной . Однако легко написать его многомерный аналог при наличии независимых переменных . Для некоторой области G в рассматриваемом -мерном пространстве многомерное интегральное уравнение можно записать в виде

Методы решения одномерных уравнений естественно обобщаются на случай многомерных интегральных уравнений (одномерные интегралы заменяются многомерными). В то же время при рассмотрении дифференциальных уравнений переход от одномерного случая обыкновенные уравнения к многомерному (уравнение с частными производными) требует совершенно других подходов и методов решения.

Виды интегральных уравнений. Рассмотрим некоторые частные случаи одномерных уравнений, которые, с одной стороны, важны в практических приложениях и, с другой стороны, наиболее изучены.

Уравнения, в которые искомая функция входит линейно, называются линейными интегральными уравнениями. Одним из них является уравнение Фредгольма первого рода

Уравнение Фредгольма второго рода имеет вид

В уравнениях Фредгольма ядро определено и ограничено на квадрате . Если K(x, s) = 0 при s> х,
т. е. ядро отлично от нуля только на треугольнике , то уравнения и переходят в уравнения Вольтерра соответственно первого и второго рода:

Мы будем рассматривать задачи для уравнений второго рода. Задачи для уравнений первого рода являются некорректно поставленными. Их рассмотрение выходит за рамки данного краткого курса. Заметим лишь, что для решения некорректных задач, т. е. уравнений или, могут быть использованы методы регуляризации.

Если правая часть уравнения равна нулю, то получается однородное уравнение Фредгольма второго рода, которое можно записать в виде

Это уравнение допускает нулевое (тривиальное) решение у(х) = 0. Для него может быть поставлена задача на собственные значения. Параметры х_i, при которых уравнение имеет отличные от нуля решения , называются собственными значениями ядра K(x, s) или уравнения, а отвечающие им решения - собственными функциями.

Теорема Фредгольма. Если не является собственным значением ядра К(х, s), то неоднородное уравнение имеет единственное непрерывное решение у(х) при , в противном случае данное неоднородное уравнение или не имеет решений, или имеет их бесчисленное множество.

В практических приложениях важную роль играют уравнения Фредгольма второго рода с вещественным симметричным ядром K(x, s), т. е. когда

Симметричное ядро обладает следующими свойствами:

1) симметричное ядро имеет хотя бы одно собственное значение;

2) все собственные значения симметричного ядра действительны;

3) собственные функции симметричного ядра ортогональны, т.е.

Уравнение Вольтерра не имеет собственных значений. Соответствующее однородное уравнение, т. е. при f(x) = 0, имеет только тривиальное решение у(х) = 0. Следовательно, неоднородное уравнение всегда при любом значении имеет решение, и при том единственное.

Итак, основными задачами для рассматриваемых интегральных уравнений являются:

1) нахождение решения неоднородного интегрального уравнения при заданном значении параметра ;

2) вычисление собственных значений и отыскание соответствующих им собственных функций однородного интегрального уравнения.

Методы решения. Численные методы. Эти методы называют также квадратурными. Они основаны на использовании формул численного интегрирования для вычисления определенных интегралов, входящих в интегральные уравнения. Численные методы получили особенно широкое распространение в связи с внедрением компьютеров, хотя эти методы можно использовать и в ручном счете при небольшом числе узлов. Численные методы могут применяться для решения как линейных, так и нелинейных интегральных уравнений.

Рассмотрим нелинейное интегральное уравнение вида

Разобьем отрезок [а, b] на части точками x_i = а + ih (i = 0, 1,..., n).

Заменим интеграл в уравнении некоторой квадратурной формулой

с помощью значений сеточной функции u_i в узлах:

j=1, 2, …, n.

где c_i — коэффициенты квадратурной формулы численного интегрирования.

Мы получили систему нелинейных алгебраических уравнений. Решая систему, получаем значения сеточной функции в выбранных узлах отрезка [а, b]. Для практического решения этой системы можно использовать рассмотренные ранее методы, например метод Ньютона Вопрос о сходимости сеточного решения u_i к значениям искомой функции y(x_i) при может быть рассмотрен лишь для конкретного вида интегрального уравнения. В общем случае сходимость численного метода исследовать трудно.

Рассмотрим линейные интегральные уравнения. Запишем сеточное выражение для однородного уравнения Фредгольма:

или:

j=1, 2, …, n

Система линейных уравнений в таком виде описывает задачу на собственные значения матрицы А, элементами которой являются числа а_{j, i}=c_iK(x_j, x_i). Матрица А имеет n собственных значений (с учетом кратности), которые являются приближениями к собственным значениям однородного уравнения Фредгольма.

В случае неоднородного уравнения Фредгольма вместо однородной системы получим следующую систему линейных алгебраических уравнений:

j=1, 2, …, n

Эта система уравнений может быть решена одним из рассмотренных ранее методов, например методом Гаусса. В соответствии с теоремой Фредгольма параметр λ не должен быть равен ни одному из собственных значений. Если он попадает в окрестность некоторого собственного значения, то система становится плохо обусловленной, и сеточное решение u_i может сильно отличаться от искомых значений y(x_i).

На практике обычно собственные значения интегрального уравнения неизвестны, поэтому ограничиваются исследованием практической сходимости. Оно состоит в проведении серии расчетов со сгущающейся сеткой. Если при этом наблюдается сходимость сеточных значений, то в качестве искомого решения принимаются результаты последнего расчета на густой сетке. При решении уравнения Вольтерра система линейных алгебраических уравнений имеет треугольный вид, и она легко решается последовательным нахождением значений u_i (по аналогии с обратным ходом метода Гаусса).

Рассмотренный подход можно использовать и для решения многомерных интегральных уравнений. При этом в многомерной расчетной области значительно возрастает число узлов. Для решения таких задач требуется большой объем памяти компьютера; системы уравнений в этих случаях более целесообразно решать итерационными методами.