Теоретические сведения. Дифференциальные уравнения лежат в основе многих математических моделей, описывающих реальные явления

Дифференциальные уравнения лежат в основе многих математических моделей, описывающих реальные явления. Обыкновенными дифференциальными уравнениями можно описать задачи движения системы взаимодействующих материальных точек, электрических цепей и многие другие. Методы решения дифференциальных уравнений и их систем можно условно разбить на точные и приближенные. К точным относятся методы, позволяющие выразить решение в явном виде через элементарные функции либо представить его при помощи квадратур от элементарных функций. Доля возникающих на практике задач, решаемых в явном виде ничтожно мала. Например, внешне простое уравнение

не имеет элементарного решения. Обычно приходиться прибегать к помощи приближенных методов решения подобных задач. Такие методы в зависимости от того, ищется ли приближенное решение в аналитическом виде или в виде таблицы чисел, часто разделяются на аналитические и численные.

Аналитическими называют методы, при использовании ко­торых решение получается как предел у(х) некоторой последовательности у(х). Ограничиваясь конечным числом n, получаем приближенное решение у(х) (например, метод разложения решения в степенной ряд).

Численные методы – это алгоритмы вычисления приближенных значений искомой функции у(х) для ряда значений аргумента х из отрезка, на котором нужно найти решение. Такие методы не позволяют отыскать общее решение дифференциального уравнения; с их помощью можно определить только какое-то частное решение. В зависимости от того, ставятся ли дополнительные условия в одной или в нескольких точках отрезка изменения независимой переменной, задачи обычно подразделяют на одноточечные (задачи с начальными условиями или задачи Коши) и многоточечные.

Среди многоточечных задач наиболее часто в прикладных вопросах встречаются так называемые граничные задачи, когда дополнительные условия ставятся на концах рассматриваемого отрезка. Наиболее простой из указанных выше задач является задача Коши. Задачи Коши очень важны для приложений.

Метод Эйлера численного решения задачи Коши. Метод Эйлера достаточно прост и нагляден, чтобы изложить на его примере идею построения более точных методов численного интегрирования дифференциальных уравнений.

Задача Коши формулируется следующим образом: найти такую непрерывную функцию y=f(x), на отрезке [a; b], которая удовлетворяет дифференциальному уравнению

(1)

и начальному условию

(2)

Условия существования и единственного решения поставленной задачи Коши будем считать выполненными. Эти условия выполняются, если функция f(x, y) имеет ограниченную частную производную по второй переменной, т.е df(x, y)/dy – величина ограничена.

Первый шаг на пути численного решения состоит в разбиении отрезка [a, b] на конечное число частей введением узловых точек (узлов сетки):

a=x₀ < x₁ < … x_n=b.

Хотя неравномерное разбиение отрезка не ведет к каким- либо особым трудностям, для простоты изложений и анализа будем предполагать, что узловые точки делят отрезок [a, b] на равные части. Если обозначить через h расстояние между узлами (шаг сетки), то h=(b – a)/n и x_i = a + ih, (i= 0, 1, 2, …, n), где n – число отрезков разбиения. В дальнейшем будем через обозначать значение точного решения (1) в точке , а через - соответствующее приближенное значение, полученное с помощью численного метода.

Численная схема метода Эйлера определяется формулами

(3)

Численное решение состоит в построении таблицы приближенных значений точного решения у(х) уравнения (1), зная , при , на выбранной последовательности точек . Этот метод относится к группе одношаговых методов, в которых для расчета точки требуется информация о последней вычислительной точке .

Геометрическая интерпретация метода Эйлера заключается в замене интегральной кривой на отрезке [ ] касательной к ней в точке . На каждом шаге заново определяется касательная, и, следовательно, соответствующая приближенному решению интегральная кривая будет ломаной линией. Поэтому метод Эйлера называют методом ломаных.

Погрешность аппроксимации численного метода решения дифференциальных уравнений. Погрешность метода Эйлера. Главный вопрос при использовании любого численного метода состоит в оценке точности приближенных решений. Дадим анализ погрешностей, которые могут возникать при численном интегрировании дифференциальных уравнений. Существует два источника погрешностей этих решений:

1) погрешность аппроксимации, возникающая в результате замены дифференциального уравнения (1) конечно-разностной аппроксимацией;

2) погрешность округления, возникающая при вычислении .

3) рассмотрим локальную погрешность аппроксимации, возникающую на одном шаге, стартовавшего с точного решения.

Предположим, что равно значению точного решения точное решение задачи (1), (2) в точке на любом частичном отрезке , можно представить в виде ряда Тейлора с центром в точке . Тогда критерием точности разных практически применяемых методов является насколько расчетная формула того или иного метода согласуется с разложением в ряд Тейлора.

Погрешность ограничения определяется тем, насколько согласуется то или иное решение с разложением в ряд в Тейлора до членов порядка , то число называют порядком точности метода.

Погрешность метода на одном шаге (локальная погрешность) дается оценкой

(4)

если в точке значение точного решения совпадает с , т.е.

(5)

Погрешность на всем отрезке (глобальная погрешность) определяется формулой

(6)

Если взять p=1, то получаем явный метод Эйлера (3), разностная схема которого

совпадает с (3). Таким образом, в случае метода Эйлера производная дифференциального уравнения (1) заменяется конечной разностью первого порядка , вызывая погрешность аппроксимации. Сравнение формул (3) с разложением Тейлора (4) точного решения у(х) показывает, что они согласуются до членов первого порядка по h. Следовательно, метод Эйлера имеет первый порядок точности с локальной погрешностью .

Доказано, что, если функция непрерывна и ограничена вместе со своими первыми производными в области изменения аргументов х и у, то приближенное решение задачи (1) – (2), найденное методом Эйлера, при сходится к точному решению равномерно на ограниченном отрезке с глобальной погрешностью . Практическим следствием этого факта является то, что при уменьшении h приближенное решение будет сходиться к точному решению с линейной скоростью по h, т.е. при уменьшении шага h вдвое погрешность уменьшается примерно в два раза. Очень медленная сходимость при уменьшении h характерна для методов первого порядка точности.

Следовательно, за счет уменьшения h можно сделать погрешность аппроксимации сколь угодно малой. Однако, чем меньше h, тем больше потребуется шагов и, следовательно, в большей мере скажутся погрешности округления на полученном решении. На практике, когда при выполнении арифметических операций на ЭВМ используются слова фиксированной длинны, всегда существует такая величина шага h, меньше которой вклад погрешностей округления начиная доминировать в суммарной погрешности. Эта ситуация схематически изображена на рис (1), где определяет минимальный шаг, который можно использовать в практических расчетах. Эту минимальную величину шага очень трудно установить заранее, но в задачах, где не требуется слишком высокая точность, необходимый шаг обычно берут значительно больше, чем этот минимум, и основной вклад в полную погрешность будет вносить погрешность аппроксимации. Такое поведение характерно и для других методов, хотя минимальный размер шага будет меняться от метода к методу и от задачи к задаче.

Рис. 1. Поведение суммарной погрешности в

зависимости от величины шага .

Подведем некоторые итоги относительно метода Эйлера. Этот метод имеет довольно большую погрешность ограничения. Кроме того, он часто оказывается неустойчивым (малая погрешность, происходящая от ограничения, округления, или заложенная в исходных данных) увеличивается с ростом x. Действительно, пусть начальное условие задано точно. На первом шаге при вычислении возникает погрешность . Суммарная погрешность на втором шаге будет вызвана не только заменой (4) на (3), но и погрешностью, допущенной на первом шаге. Аналогично, суммарная погрешность i-го шага зависит не только от аппроксимации формулы Тейлора (4) формулой Эйлера (3), но и от погрешностей при вычислениях В случае, когда начальное условие задано неточно, суммарная погрешность на любом шаге будет зависеть от погрешности начального условия (2).

Перейдем к более точным методам численного интегрирования дифференциальных уравнений.

Уточненный (модифицированный) метод Эйлера. Метод Эйлера обладает медленной сходимостью, поэтому чаще применяют методы более высокого порядка точности. Второй порядок точности по имеет усовершенствованный метод Эйлера:

.

Этот метод имеет простую геометрическую интерпретацию. Метод Эйлера называют методом ломаных, так как интегральная кривая на отрезке заменяется ломаной с угловым коэффициентом . В усовершенствованном методе Эйлера интегральная кривая на отрезке заменяется ломаной с угловым коэффициентом, вычисленным в средней точке отрезка . Так как значение в этой точке неизвестно, для его нахождения используют метод Эйлера с шагом .

Еще одна модификация метода Эйлера второго порядка - метод Эйлера-Коши:

Методы Рунге-Кутта. Идея методов Рунге-Кутта состоит в том, чтобы представить дискретную задачу, соответствующую (1) – (2), в виде

(7)

где функция составляла бы часть ряда Тейлора с точностью и в тоже время не содержала бы производных функции . Таким образом, в основе методов Рунге-Кутта лежит подгонка к ряду Тейлора.

Заметим, что метод Рунге-Кутта первого порядка (p=1) – это метод Эйлера.

Наиболее знаменитым из методов Рунге-Кутта является классический метод четвёртого порядка. Этот метод описывается системой следующих пяти соотношений:

(8)

На каждом шаге необходимо четыре раза вычислять правую часть дифференциального уравнения (1).

Этот метод имеет погрешность аппроксимации , так что формулы (8) описывают метод четвертого порядка точности.

Методы Рунге-Кутта имеют ряд важных достоинств:

1) являются явными, одноступенчатыми, т.е. значение вычисляется по ранее найденным значением ;

2) допускают использование переменного шага, что дает возможность уменьшить его там, где функция быстро меняется и увеличить в противном случае;

3) являются легко применимыми, так как для начала расчета достаточно выбрать сетку и задать значение .

Один из серьезных недостатков методов Рунге-Кутта состоит в отсутствии простых способов оценить их погрешность, а без этого трудно выбрать величину шага интегрирования . Грубое оценочное правило предложено Коллатцом.

Если отношение

становится велико (больше нескольких сотых), то шаг интегрирования необходимо уменьшить. Одним из наиболее простых и достаточно эффективных методов оценки погрешности и уточнение полученных результатов является правило Рунге.