Теоретические сведения. Экстраполяционный метод Адамса

Экстраполяционный метод Адамса. Пусть требуется найти решение дифференциального уравнения

с начальным условием y(x₀)=y₀.

Экстраполяционный метод Адамса, применяемый для приближенного решения дифференциальных уравнений первого порядка, является многошаговым методом. Значение приближенного решения y_n+1можно вычислить, если известны четыре предыдущих значения приближенного решения – y_n-3, y_n-2, y_n-1, y_n, которые определяются, например, методом Рунге-Кутта.

Экстраполяционная формула Адамса имеет следующий вид:

,

где .

Погрешность экстраполяционного метода Адамса на одном шаге есть величина порядка h⁵.

Метод Милна. Метод Милна является многошаговым методом. Приближенное решение y_n+1можно найти, если известны четыре предыдущих значения приближенного решения – y_n-3, y_n-2, y_n-1, y_n, которые определяются, например, методом Рунге-Кутта.

Значение y_n+1 Определяем методом Милна так:

1. По первой формуле Милна вычисляем первое приближение:

.

2. По значению определяем .

3. По второй формуле Милна находим второе приближение:

.

Первая формула Милна служит «предсказывающей» формулой (формулой прогноза), а вторая – «поправочной» (формулой коррекции).