Теоретические сведения. Пусть при рассматривается краевая задача для дифференциального уравнения

Пусть при рассматривается краевая задача для дифференциального уравнения

(1)

с условиями

Разобьем отрезок [a, b] на n равных частей точками . Точки будем называть узлами. Рассмотрим дифференциальное уравнение (1) во внутренних узлах отрезка, т.е в точках .

В уравнении (1) полагаем , в результате получаем

(2)

Обозначим получаемые в результате расчета приближенные значения искомой функции y(x) в узлах через . Введем также обозначения

.

В каждом внутреннем узле производные и заменяем конечно-разностными отношениями, используя следующие формулы:

. (3)

В крайних точках отрезка и производные и заменяем конечно-разностными отношениями по формулам

. (4)

Подставляя (3) в (2), получаем (n-1) уравнений. Подставляя (4) в краевые условия, получаем еще два уравнения. Таким образом, после подстановок приходим к линейной системе из (n+1) уравнений с (n+1) неизвестными:

,

.

Преобразуем эту систему:

(5)

Решив систему (5), получим таблицу приближенных значений искомой функции.

Введем обозначения:

Система (5) запишется в виде

(6)

Систему целесообразно решать методом прогонки.